Was ist mit den kritischen Exponenten und dem RG-Fluss in der oberen kritischen Dimension D=4D=4D=4?

Was passiert bei der kritischen Dimension$D=4$ist, dass kritische Exponenten gleich ihren mittleren Feldwerten sind, aber man logarithmische Korrekturen hat, die als eine Art Überbleibsel von anomalen Werten angesehen werden können, wenn man die Grenze nimmt$D\rightarrow 4$von unten. Nehmen Sie zum Beispiel die dem Ising-Modell entsprechende Universalitätsklasse sowie die$\phi^4$modellieren und den Suszeptibilitätsexponenten betrachten$\gamma$. Letzteres wird normalerweise definiert durch

$$\chi\sim |T-T_{\rm c}|^{-\gamma}\ .$$ Für $D>4$, hat man $\gamma=1$das ist der mittlere Feldwert. Für $D<4$, hat man $\gamma>1$was daher ein nicht-klassischer oder anomaler Wert ist. Bei $D=4$, was passiert, ist das $$\chi\sim |T-T_{\rm c}|^{-1}\times (\log |T-T_{\rm c}|)^{\frac{1}{3}}\ .$$ Diese Art der logarithmischen Korrektur wurde von Wegner und Riedel in dem Artikel "Logarithmic Corrections to the Molecular-Field Behavior of Critical and Tricritical Systems" unter Verwendung von Wilsons RG auf nicht mathematisch strenge Weise verstanden . Dies ist jedoch jetzt ein streng mathematisches Ergebnis. Siehe die jüngste Arbeit von Bauerschmidt, Brydges und Slade „Scaling Limits and Critical Behavior of the 4-Dimensional$n$-Komponente$|\varphi|^{4}$Spin Model" (oder hier für die arXiv-Version).

Um die Verbindung zu Martys Antwort herzustellen, sollte ich hinzufügen, dass diese logarithmischen Korrekturen ausgelöscht werden, wenn man das Kontinuum oder die Skalierungsgrenze nimmt, und man mit dem masselosen Gaußschen Feld endet. Dies wurde nur an einem Torus mit endlichem Volumen bewiesen (siehe den obigen Artikel von Bauerschmidt, Brydges und Slade).

In$D=4$Es gibt keine interagierende CFT in der Universalitätsklasse der Aktion

$$S[M] = \int\!d^4x\, (\partial M)^2 + r M^2 + g M^4$$

oder ähnlich wenn$M$ist ein$N$-Vektor. Das ist der springende Punkt der RG-Analyse in$D=4$. Die freie (Gaußsche) Theorie ist vollkommen konsistent; wenn Sie versuchen, das einzuschalten$g$-Kupplung oben, Sie sehen, dass es auf kurze Distanz explodiert, daher schließen Sie das nur$g=0$beschreibt einen gesunden QFT. Dies ist als Trivialitätsproblem von 4d QFT bekannt. (Natürlich ist es sehr gut möglich, dass die obige Aktion einen nicht trivialen UV-Abschluss hat, der wahrscheinlich etwas komplizierter aussehen wird.) Die obige Geschichte stimmt mit Ihren Erwartungen überein: at$D>4$Sie haben nur die Gaußsche Theorie, bei$D=4-\epsilon$die Wechselwirkungsstärke am Fixpunkt ist von Ordnung$\epsilon$, und es verschwindet als$D \to 4$.