Dimensionslose vs. dimensionale RG-Flow-Gleichungen

Question

Dimensionslose vs. dimensionale RG-Flow-Gleichungen

Physik
Renormierung
Phasenübergang
kritische Phänomene
Dimensionsanalyse
Quantenfeldtheorie

Antiheld

Wenn man für irgendeine Theorie RG-Flow-Gleichungen aufschreibt, stößt man irgendwann auf Aussagen wie

"Es ist nützlich, die obigen exakten Strömungsgleichungen richtig zu skalieren und sie in dimensionsloser Form neu zu schreiben."

oder

"Die umskalierte Form der RG-Flow-Gleichungen ist auch am bequemsten, um Fixpunkte zu diskutieren."

oder

„Das Arbeiten mit den umskalierten Strömungsgleichungen hat den Vorteil, dass wir die kanonischen Abmessungen der Kopplungen direkt ablesen und somit alle Kopplungen nach ihrer Relevanz bzgl. eines gegebenen Fixpunktes klassifizieren können.“

(Diese Sätze stammen mehr oder weniger wörtlich aus dem Kopietz-Buch.)

Ich verstehe diese Logik nicht wirklich; Ich verstehe nicht wirklich, warum man zu dimensionslosen Strömungsgleichungen gehen muss; Kann ich nicht einfach die kritischen Exponenten (durch Diagonalisieren der Stabilitätsmatrix und Ablesen ihrer Eigenwerte, sofern dies möglich ist) für die RG-Flussgleichungen der dimensionalen Kopplungen berechnen?

Eine Erklärung, mit der ich mich befassen könnte, ist, dass es nur eine experimentell verifizierte Standard-Tatsache ist , dass die einzigen "interessanten" kritischen Exponenten diejenigen sind, die mit den Strömungsgleichungen der dimensionslosen Kupplungen einhergehen .

Kann jemand bitte eine gute Erklärung erarbeiten?

BEARBEITEN:

Ein Beispiel für dimensionale Strömungsgleichungen:

{\begin{aligned} \frac{D}{D Λ} γ_{1} & \approx 0 \\ \frac{D}{D Λ} γ_{2} & \approx 0 \\ \frac{D}{D Λ} γ_{3} & \approx + γ_{1} \cdot (4 D_{Λ}) \cdot γ_{2} \\ \frac{D}{D Λ} γ_{4} & \approx + γ_{2} \cdot (- 16 D_{Λ}) \cdot γ_{4} \end{aligned}

$\left\{ \, \begin{aligned} \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \Lambda } \gamma_{1} \quad & \approx \quad 0 \\ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \Lambda } \gamma_{2} \quad & \approx \quad 0 \\ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \Lambda } \gamma_{3} \quad & \approx \quad + {\gamma}_{1} \cdot \left( 4 \, D_{ \Lambda } \right) \cdot {\gamma}_{2} \\ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} \Lambda } \gamma_{4} \quad & \approx \quad + {\gamma}_{2} \cdot \left( -16 \, D_{ \Lambda } \right) \cdot {\gamma}_{4} \end{aligned} \right.$

Ein Beispiel für dimensionslose Strömungsgleichungen :

{\begin{aligned} β_{1} ({\tilde{γ}}_{1}, {\tilde{γ}}_{2}, {\tilde{γ}}_{3}, {\tilde{γ}}_{4}) & \approx - 2 {\tilde{γ}}_{1} / Λ \\ β_{2} ({\tilde{γ}}_{1}, {\tilde{γ}}_{2}, {\tilde{γ}}_{3}, {\tilde{γ}}_{4}) & \approx - 2 {\tilde{γ}}_{2} / Λ \\ β_{3} ({\tilde{γ}}_{1}, {\tilde{γ}}_{2}, {\tilde{γ}}_{3}, {\tilde{γ}}_{4}) & \approx - 2 {\tilde{γ}}_{3} / Λ + {\tilde{γ}}_{1} \cdot (4 D_{Λ} Λ^{2}) \cdot {\tilde{γ}}_{2} \\ β_{4} ({\tilde{γ}}_{1}, {\tilde{γ}}_{2}, {\tilde{γ}}_{3}, {\tilde{γ}}_{4}) & \approx - 2 {\tilde{γ}}_{4} / Λ + {\tilde{γ}}_{2} \cdot (- 16 D_{Λ} Λ^{2}) \cdot {\tilde{γ}}_{4} \end{aligned}

$\left\{ \, \begin{aligned} \beta_{1} ( \tilde{\gamma}_{1} , \tilde{\gamma}_{2} , \tilde{\gamma}_{3} , \tilde{\gamma}_{4}) \quad & \approx \quad - 2 \tilde{\gamma}_{1} / \Lambda \\ \beta_{2} ( \tilde{\gamma}_{1} , \tilde{\gamma}_{2} , \tilde{\gamma}_{3} , \tilde{\gamma}_{4}) \quad & \approx \quad - 2 \tilde{\gamma}_{2} / \Lambda \\ \beta_{3} ( \tilde{\gamma}_{1} , \tilde{\gamma}_{2} , \tilde{\gamma}_{3} , \tilde{\gamma}_{4}) \quad & \approx \quad - 2 \tilde{\gamma}_{3} / \Lambda + \tilde{\gamma}_{1} \cdot \left( 4 \, D_{ \Lambda } \, \Lambda^2 \right) \cdot \tilde{\gamma}_{2} \\ \beta_{4} ( \tilde{\gamma}_{1} , \tilde{\gamma}_{2} , \tilde{\gamma}_{3} , \tilde{\gamma}_{4}) \quad & \approx \quad - 2 \tilde{\gamma}_{4} / \Lambda + \tilde{\gamma}_{2} \cdot \left( -16 \, D_{ \Lambda } \, \Lambda^2 \right) \cdot \tilde{\gamma}_{4} \end{aligned} \right.$

Wo $D_{ \Lambda }$ ist der dominierende Beitrag für den Fluss der Kopplungen; Moden-Eliminierung (in der BRD analog zu Wilsons RG) entspricht abnehmend $\Lambda$ aus $\Lambda = \infty$ Zu $\Lambda = 0$ Und $\tilde{\gamma }_{ \bullet } = \gamma_{ \bullet } / \Lambda^2$

Andreas

Können Sie ein Beispiel für „dimensionale“ und „dimensionslos umskalierte“ RG-Gleichungen geben? (Ich habe Ihr Buch nicht zur Hand) Basierend auf Ihrer Beschreibung hört es sich so an, als würden Sie im Wesentlichen nach dem Unterschied fragen zwischen (a) wie eine dimensionale Kopplung mit Energie skaliert (was Beiträge aus beiden "langweiligen" technischen Dimensionen enthalten wird, die Sie würden Vermutung aus der Dimensionsanalyse und den "interessanten" Quantenkorrekturen) und (b) die anomale Dimension eines Operators, was nur der "interessante" Teil ist. Aber ich bin mir nicht 100% sicher, ohne weitere Details. (Vielleicht weiß es jemand anders).

brink

In Anlehnung an Andrew bin ich mit der Referenz nicht vertraut, aber ich vermute, dass das Problem mit dem Neuskalierungsschritt des RG zusammenhängt, der häufig das Nicht-Dimensionalisieren der Strömungsgleichungen unter Verwendung der laufenden Skala beinhaltet (z. B. Impuls in einem Impuls- Schalenberechnung). Wenn ja, lautet die Antwort, dass die dimensionsbehafteten/nicht neu skalierten Strömungsgleichungen keine Fixpunkte haben , ähnlich wie die Diffusionsgleichung

c_{t} = c_{x x}

$c_t = c_{xx}$ hat keine stationäre Lösung

c (t, x) = c (x)

$c(t,x) = c(x)$ , aber Einstellung

c (t, x) = f (x / \sqrt{t}) / \sqrt{t}

$c(t,x) = f(x/\sqrt{t})/\sqrt{t}$ ergibt eine stationäre Lösung für

f (y)

$f(y)$ mit

y = x / \sqrt{t}

$y = x/\sqrt{t}$ .

Rattenmann

Ich bin mir nicht sicher, ob die OP-Frage darauf abzielt, aber weitere Beziehungen zwischen Dimensionsanalyse und Renormalisierungsgruppe finden Sie im Goldenfeld-Buch und im Barenblatt-Buch über Skalierung und Zwischenasymptotik

Antiheld

An Andreas: Ich habe den Beitrag editiert. Bei bbrink: Ich denke, dass Ihre Aussage, dass nicht umskalierte Strömungsgleichungen keine Fixpunkte haben, falsch ist, können Sie mir meinen Fehler sagen? - Schreiben

d_{Λ} \vec{γ} = {\vec{γ}}^{T} \cdot B \cdot \vec{γ}

$\mathrm{d}_{ \Lambda } \vec{ \gamma } = \vec{ \gamma }^{ \operatorname{T}} \cdot B \cdot \vec{ \gamma}$ gibt Lösungen mit

d_{Λ} \vec{γ} = 0

$\mathrm{d}_{ \Lambda} \vec{\gamma} = 0$ Wenn

\vec{γ}

$\vec{ \gamma}$ befindet sich im Kern der Matrix B. Es besteht keine Notwendigkeit, die Strömungsgleichungen neu zu skalieren, um Fixpunkte zu finden. (???)

Antworten (1)

Dimensionslose vs. dimensionale RG-Flow-Gleichungen

Können Sie ein Beispiel für „dimensionale“ und „dimensionslos umskalierte“ RG-Gleichungen geben? (Ich habe Ihr Buch nicht zur Hand) Basierend auf Ihrer Beschreibung hört es sich so an, als würden Sie im Wesentlichen nach dem Unterschied fragen zwischen (a) wie eine dimensionale Kopplung mit Energie skaliert (was Beiträge aus beiden "langweiligen" technischen Dimensionen enthalten wird, die Sie würden Vermutung aus der Dimensionsanalyse und den "interessanten" Quantenkorrekturen) und (b) die anomale Dimension eines Operators, was nur der "interessante" Teil ist. Aber ich bin mir nicht 100% sicher, ohne weitere Details. (Vielleicht weiß es jemand anders).
In Anlehnung an Andrew bin ich mit der Referenz nicht vertraut, aber ich vermute, dass das Problem mit dem Neuskalierungsschritt des RG zusammenhängt, der häufig das Nicht-Dimensionalisieren der Strömungsgleichungen unter Verwendung der laufenden Skala beinhaltet (z. B. Impuls in einem Impuls- Schalenberechnung). Wenn ja, lautet die Antwort, dass die dimensionsbehafteten/nicht neu skalierten Strömungsgleichungen keine Fixpunkte haben , ähnlich wie die Diffusionsgleichung $c_t = c_{xx}$ hat keine stationäre Lösung $c(t,x) = c(x)$ , aber Einstellung $c(t,x) = f(x/\sqrt{t})/\sqrt{t}$ ergibt eine stationäre Lösung für $f(y)$ mit $y = x/\sqrt{t}$ .
Ich bin mir nicht sicher, ob die OP-Frage darauf abzielt, aber weitere Beziehungen zwischen Dimensionsanalyse und Renormalisierungsgruppe finden Sie im Goldenfeld-Buch und im Barenblatt-Buch über Skalierung und Zwischenasymptotik
An Andreas: Ich habe den Beitrag editiert. Bei bbrink: Ich denke, dass Ihre Aussage, dass nicht umskalierte Strömungsgleichungen keine Fixpunkte haben, falsch ist, können Sie mir meinen Fehler sagen? - Schreiben $\mathrm{d}_{ \Lambda } \vec{ \gamma } = \vec{ \gamma }^{ \operatorname{T}} \cdot B \cdot \vec{ \gamma}$ gibt Lösungen mit $\mathrm{d}_{ \Lambda} \vec{\gamma} = 0$ Wenn $\vec{ \gamma}$ befindet sich im Kern der Matrix B. Es besteht keine Notwendigkeit, die Strömungsgleichungen neu zu skalieren, um Fixpunkte zu finden. (???)

N0va · Answer 1

Ich werde meine Antwort auf die Situation in Wilsons RG-Ansatz mit der funktionalen Renormalisierungsgruppe (FRG) als expliziter Implementierung beschränken. Beginnen wir mit einer offensichtlichen Beobachtung: Betrachten wir eine Menge der Strömungsgleichung der Kupplungen $\{\lambda_i\}$

\begin{matrix} (1) & \partial_{k} λ_{ich} (k) = {F l Ö w}_{ich} (k, {λ_{ich} (k)}), \end{matrix}

$\partial_k\lambda_i(k)=\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i(k)\}),\tag{1}$ Wo

k

$k$ bezeichnet die RG-Skala (

Λ

$\Lambda$ in der Antihelden-Frage) und

{F l o w}_{i} (k, {λ_{i}})

$\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i\})$ ist eine nicht näher spezifizierte Funktion, die von der RG-Skala und allen Kopplungen abhängt. Lassen

λ_{i}

$\lambda_i$ von Dimension sein

d_{i}

$d_i$ was zu der dimensionslosen Kopplung führt

{\bar{λ}}_{i} (k) \equiv λ_{i} (k) / k^{d_{i}}

$\bar\lambda_i(k)\equiv \lambda_i(k)/k^{d_i}$ . Einsetzen der Definition der dimensionslosen Kopplung in Gl. (1) ergibt

\begin{matrix} (2) & k \partial_{k} {\bar{λ}}_{ich} (T) = - D {\bar{λ}}_{ich} (k) + k^{1 - D} {F l Ö w}_{ich} (k, {k^{D_{ich}} {\bar{λ}}_{ich} (k)}), \end{matrix}

$k\,\partial_k \bar\lambda_i(t)= -d\, \bar\lambda_i(k)+k^{1-d}\,\mathrm{Flow}_i(k,\{k^{d_i}\bar\lambda_i(k)\}),\tag{2}$ wobei wir beide Seiten mit multipliziert haben

k^{1 - d}

$k^{1-d}$ . Der Einfachheit halber führen wir "RG-Zeit" als dimensionslosen Parameter ein

t \equiv \ln (k / Λ)

$t\equiv\ln(k/\Lambda)$ , mit einem derzeit willkürlichen Bezugsmaßstab

Λ

$\Lambda$ . Mit

\partial t / \partial k = 1 / k

$\partial t/\partial k=1/k$ wir schreiben Gl. (1) und (2):

\begin{matrix} (4) & \partial_{T} λ_{ich} (T) = k {F l Ö w}_{ich} (k, {λ_{ich} (T)}) \equiv {F l Ö w}_{ich} (T, {λ_{ich} (T)}) \end{matrix}

$\partial_t\lambda_i(t) = k\,\mathrm{Flow}_i(k,\{\lambda_i(t)\})\equiv\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\tag{4}$

\begin{matrix} (5) & \partial_{T} {\bar{λ}}_{ich} (T) = - D λ_{ich} (k) k^{- D} + k^{- D} {F l Ö w}_{ich} (T, {λ_{ich} (T)}) = - D {\bar{λ}}_{ich} (T) + {F l Ö w}_{ich}^{'} (T, {{\bar{λ}}_{ich} (T)}) . \end{matrix}

$\partial_t \bar\lambda_i(t) = -d\, \lambda_i(k)k^{-d}+k^{-d}\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})=-d\bar\lambda_i(t)+\mathrm{Flow}_i'(t,\{\bar\lambda_i(t)\}).\tag{5}$ Nun zur vorgenannten Beobachtung: Anspruchsvoll

\partial_{t} λ_{i} (t) = 0

$\partial_t\lambda_i(t)=0$ für einen "festen" Punkt oder anspruchsvoll

\partial_{t} {\bar{λ}}_{i} (t) = 0

$\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$ für einen Fixpunkt sind zwei völlig unterschiedliche Anforderungen/Definitionen von Fixpunkten, da:

0 \overset{!}{=} {F l Ö w}_{ich} (T, {λ_{ich} (T)}) \neq - D λ_{ich} (k) k^{- D} + k^{- D} {F l Ö w}_{ich} (T, {λ_{ich} (T)}) \overset{!}{=} 0.

$0\stackrel{!}{=}\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\neq -d\, \lambda_i(k)k^{-d}+k^{-d}\,\mathrm{Flow}_i(t,\{\lambda_i(t)\})\stackrel{!}{=}0.$

{\bar{λ}}_{i} (t)

$\bar\lambda_i(t)$ trägt einen kanonischen Lauf basierend auf der Dimension der Kupplung

λ_{i} (t)

$\lambda_i(t)$ , siehe auch die verwandte Frage "Sind Fixpunkte der RG-Evolution wirklich skaleninvariant?" . In der Literatur werden RG-Fixpunkte meist als Fixpunkte bezeichnet (

\partial_{t} {\bar{λ}}_{i} (t) = 0

$\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$ ) der dimensionslosen Kupplungen

{{\bar{λ}}_{i} (t)}

$\{\bar\lambda_i(t)\}$ . In Verbindung mit dem klassischen Bild von Wilsons RG bleiben diese dimensionslosen Kopplungen unter RG-Transformationen, die eine Skalenänderung beinhalten (

k

$k$ oder gleichwertig

t

$t$ )/Modus-Eliminierung, eine Neuskalierung von Impulsen und eine Neuskalierung von Feldern. Die letzten beiden Eigenschaften könnten die Einbeziehung der anomalen Dimension der Felder der Theorie erfordern, die die kanonische Skalierung auf der rechten Seite von (5) modifizieren:

- d \to - d + η_{λ_{i}}

$-d\rightarrow -d +\eta_{\lambda_i}$ mit

η_{λ_{i}}

$\eta_{\lambda_i}$ als Summe feldanomaler Dimensionen

η_{i} = - (\partial_{t} Z_{ϕ_{i}}) / Z_{ϕ_{i}}

$\eta_i=-(\partial_t Z_{\phi_i})/Z_{\phi_i}$ . Die rechte Seite von Gl. (5) mit

{F l o w}_{i}^{'} (\dots)

$\mathrm{Flow}_i'(\ldots)$ ist dann völlig unabhängig von

t

$t$ Und

k

$k$ , was eine Fixpunktlösung bedeutet

{{\bar{λ}}_{i}^{*}}

$\{\bar{\lambda}_i^*\}$ mit

\forall i \partial_{t} {\bar{λ}}_{i}^{*} = 0

$\forall i \ \partial_t\bar{\lambda}_i^*=0$ gilt natürlich in allen Maßstäben

k

$k$ -- was eine definierende Eigenschaft im kanonischen Begriff der RG-Fixpunkte ist. "Feste" Punkte mit

\partial_{t} λ_{i} = 0

$\partial_t{\lambda}_i=0$ sind einer Skala zugeordnet

k^{*}

$k^*$ und sind nicht skalenunabhängig (da die rechte Seite von Gleichung (1) oder äquivalent (4) von der Skala abhängt). Im Sinne der Invarianz unter RG-Transformationen auf allen Skalen macht es keinen Sinn, Lösungen von zu diskutieren

\partial_{t} λ_{i} = 0

$\partial_t{\lambda}_i=0$ . Festpunkte von

\partial_{t} {\bar{λ}}_{i} (t) = 0

$\partial_t\bar\lambda_i(t)=0$ sind sehr wichtig, um Theorien und ihre RG-Flüsse zu verstehen. Ich würde das zweite Zitat der ursprünglichen Frage umformulieren

Die umskalierte Form der RG-Strömungsgleichungen wird verwendet, um bestimmte Fixpunkte zu definieren und zu diskutieren (skaleninvariante Lösungen der RG-Strömungsgleichungen).

Kommen wir zum ersten Zitat und dem Kommentar von bbrink, ich formuliere noch einmal um

Für bestimmte Anwendungen ist es sinnvoll, die obigen exakten Strömungsgleichungen neu zu skalieren und in dimensionsloser Form neu zu schreiben.

(Quanten-)Feldtheorien sind mehr als Fixpunkte (unter Verwendung des kanonischen Begriffs). Obwohl sie zweifellos sehr wichtig sind, sind sie nicht der einzige Aspekt von Interesse. Für bestimmte Anwendungen, insbesondere bei numerischen Lösungen expliziter Strömungsgleichungssysteme, kann es sehr nachteilig sein, in dimensionslosen Kopplungen zu rechnen, indem die kanonische Skalierung herausgezogen wird.

In Bezug auf "feste" Punkte von (1) und äquivalent (4): Diese Strömungsgleichungen haben "feste" / stationäre Punkte bei bestimmten Maßstäben / Kopplungen. Ich bin mit bbrinks Kommentar absolut nicht einverstanden. Das Konstruktionsprinzip der funktionalen Renormierungsgruppe (als exakte Implementierung von Wilsons RG-Ansatz) basiert auf solchen stationären Punkten/den zugehörigen Kopplungen und Skalen: Der (F)RG-Fluss wird auf einer für eine gegebene Theorie asymptotisch großen Skala initialisiert $\Lambda$ (für bestimmte Theorien $\Lambda\rightarrow\infty$ gilt als). Diese Skala muss größer sein als alle internen und externen Skalen, was bedeutet, dass Quantenfluktuationen oberhalb der Skala für die Theorie nicht relevant sind und die Theorie als klassisch angesehen werden kann $\Lambda$ , was bedeutet, dass wir den RG-Fluss für die effektive durchschnittliche Aktion mit der klassischen Aktion der Theorie initialisieren können (möglicherweise einschließlich messgerätfixierender oder anomaliebezogener Terme). Eine Möglichkeit, die Skala zu quantifizieren $\Lambda$ für eine Theorie spezifiziert bei $\Lambda$ (z. B. mit einem Satz Kupplungen $\{\lambda_i(k=\Lambda)\}$ ) ist zu verlangen $\partial_k\lambda_i(k)|_{k=\Lambda}\stackrel{!}{=}0$ oder zumindest $\approx 0$ in ausreichendem Maße. Diese Anforderung wird in der BRD-Literatur als "RG-Konsistenz" bezeichnet. Einige Theorien haben zusätzlich $\partial_k\lambda_i(k)=0$ oder $\approx 0$ bei Annäherung an das Infrarot/Klein $k$ . Es stimmt, dass RG und auch FRG einen inhärenten Diffusionscharakter haben, aber das bedeutet nicht das Fehlen von "festen"/stationären Punkten in $\{\lambda_i(k)\}$ . Das Argument von bbrink in seinem Kommentar über das Fehlen von Fixpunktlösungen in der Wärmegleichung $\partial_t c(t,x)=\partial_{xx}c(t,x)$ ist falsch: $c(x)=a+m x$ für beliebige Konstanten $a$ Und $m$ ist wegen seiner verschwindenden zweiten Ableitung eine Fixpunktlösung. Dabei Fixpunkte von $\partial_t c(t,x)$ sind "thermische" Gleichgewichtslösungen, während Fixpunkte der umskalierten Gleichung stationären Lösungen ähneln. Das könnte in der Tat ein gutes Bild für die RG-Fixpunkte sein $\{\lambda_i(t)\}$ Und $\{\bar\lambda_i(t)\}$ . RG-Ströme können oft unter Verwendung solcher fluiddynamischer Begriffe verstanden und diskutiert werden. (Die Leute, die die (F)RG formuliert haben, haben die zugrunde liegenden Gleichungen nicht ohne Grund "Strömungsgleichungen" genannt).

Kommen wir zum letzten Zitat:

„Das Arbeiten mit den umskalierten Strömungsgleichungen hat den Vorteil, dass wir die kanonischen Abmessungen der Kopplungen direkt ablesen und somit alle Kopplungen nach ihrer Relevanz bzgl. eines gegebenen Fixpunktes klassifizieren können.“

Man kann Richtungen im Raum der Kopplungen klassifizieren $\{\bar\lambda_i(t)\}$ durch Linearisieren von Gl. (5) um den Fixpunkt mit

\begin{matrix} (6) & {\bar{λ}}_{ich} (T) = {\bar{λ}}_{ich}^{*} + δ {\bar{λ}}_{ich} (T) \Rightarrow \partial_{T} {\bar{λ}}_{ich} (T) = B_{ich, J} δ {\bar{λ}}_{ich} (T) + Ö (δ {\bar{λ}}_{ich} (T)^{2}), \end{matrix}

$\bar\lambda_i(t)=\bar\lambda_i^*+\delta\bar\lambda_i(t) \Rightarrow \partial_t\bar\lambda_i(t) = B_{i,j}\delta\bar\lambda_i(t)+O(\delta\bar\lambda_i(t)^2),\tag{6}$ wobei wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass am Fixpunkt die Flüsse/Betafunktionen verschwinden. Berechnung der Eigenwerte

b_{i}

$b_i$ der Stabilitätsmatrix bzgl. normierter Eigenvektoren kann man Richtungen/Kopplungen klassifizieren:

b_{i} < 0

$b_i<0$ ist UV-anziehend/IR-abstoßend,

b_{i} > 0

$b_i>0$ ist UV-abstoßend/IR-anziehend, und

b_{i} = 0

$b_i=0$ ist eine Randrichtung. Dies könnte mit "Relevanz bezüglich eines bestimmten Fixpunkts" gemeint sein, aber wenn dies der Fall ist, ist die Wahl des Wortes "Relevanz" ziemlich schlecht, da die kanonische Vorstellung von relevanten, irrelevanten und marginalen Kopplungen während des RG-Flusses nicht direkt mit dem zusammenhängt Vorstellung von UV-abstoßend / IR-anziehend und um einen festen Punkt fließen (glaube ich, aber vielleicht irre ich mich in diesem Punkt). Die kanonischen Abmessungen werden für eine ordnungsgemäße Neuskalierung benötigt. Im Geiste dessen, was zuerst kommt: Starten eines dimensionalen Flusses Gl. man muss die kanonischen Dimensionen herausfinden (Dimensionsanalyse und richtige Ergänzungen von

η_{i}

$\eta_i$ ) zur Formulierung der dimensionslosen Strömungsgleichung.

Ich hoffe, diese Antwort hilft beim Verständnis der Unterschiede in den Strömungsgleichungen von $\{\bar\lambda_i\}$ Und $\{\lambda_i\}$ . Ich muss allerdings zugeben, dass ich kein Experte bin, wenn es um Fixpunkte in der (F)RG geht: Ich arbeite meist mit dimensionierten Kupplungen $\{\lambda_i\}$ und mein begrenztes Wissen über Fixpunkte/dimensionslose Strömungen stammt aus Vorlesungsskripten und Vorträgen und nicht aus praktischer Erfahrung (die zumindest für mich etwas notwendig ist, um diese Art von Zeug wirklich zu verstehen). Für eine explizite, aber relativ einfache Anwendung würde ich empfehlen, nach BRD-Diskussionen des O(N)-Modells speziell (aber nicht unbedingt ausschließlich) im Infinite-N-Grenzwert zu suchen, siehe z komplexe Feldebene" und "Kritische Exponenten aus optimierten Renormierungsgruppenströmungen" , wobei die rhs der Strömungsgleichung ohne Kürzungen in einer einfachen und geschlossenen Form genau bekannt ist. Ermöglicht relativ einfache Berechnungen von kritischen Punkten und verwandten Größen.

Dimensionslose vs. dimensionale RG-Flow-Gleichungen

Antiheld

Andreas

brink

Rattenmann

Antiheld

Antworten (1)

N0va

Was ist mit den kritischen Exponenten und dem RG-Fluss in der oberen kritischen Dimension D=4D=4D=4?

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