Potenzzählung und (oberflächliche) Nicht-Renormierbarkeit

Das Wichtigste ist, dass Sie mit kanonisch normalisierten Feldern arbeiten müssen , um die Power-Counting-Argumente verwenden zu können.

Lassen Sie uns GR um den flachen Raum erweitern

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \tilde{h}_{\mu\nu} \end{equation}$$ Der Grund für die Tilde wird gleich klar. So lange wie $\tilde{h}$"klein" ist (genauer gesagt solange die Krümmung $R\sim (\partial^2 \tilde{h})$"klein" ist), können wir GR als effektive Feldtheorie eines masselosen Spin-Zwei-Teilchens betrachten, das auf einem flachen Minkowski-Raum lebt.

Dann nimmt die Einstein-Hilbert-Aktion die schematische Form an

$$\begin{equation} S_{EH}=\frac{M_{pl}^2}{2}\int d^4x \sqrt{-g} R = \frac{M_{pl}^2}{2} \int d^4x \ (\partial \tilde{h})^2 + (\partial \tilde{h})^2\tilde{h}+\cdots \end{equation}$$ Wo $M_{pl}\sim 1/\sqrt{G}$in Einheiten mit $\hbar=c=1$. $M_{pl}$hat Masseneinheiten. In dieser Form könnte man denken, dass die Interaktion $(\partial \tilde{h})^2 \tilde{h}$kommt mit einer Skala $M^2_{pl}$mit positiver Kraft. Dies ist jedoch zu schnell - alle QFT-Argumente, die Sie gesehen haben, haben angenommen, dass der kinetische Term einen Koeffizienten von -1/2 hatte, nicht $M_{pl}^2$. In Anbetracht dessen $M_{pl}$hat Einheiten der Masse und die Aktion hat Einheiten von $(mass)^4$, das Feld $\tilde{h}$ist dimensionslos, daher ist es eindeutig nicht auf die gleiche Weise normalisiert wie das Standardfeld, das in QFT-Lehrbüchern verwendet wird.

Nun, klassischerweise ist die Aktion nur bis zu einer Gesamtkonstanten definiert, sodass wir frei denken können$M_{pl}^2$als willkürliche Konstante. In QFT erscheint die Aktion jedoch im Pfadintegral$Z=\int D\tilde{h}e^{iS[\tilde{h}]/\hbar}$(Beachten Sie die notationale Unterscheidung zwischen$\tilde{h}$Und$\hbar$). Somit ist die Gesamtkonstante der Aktion kein freier Parameter in der QFT, sie ist fest und hat eine physikalische Bedeutung. Alternativ müssen Sie sich daran erinnern, dass die Einstein-Hilbert-Aktion letztendlich an Materie gekoppelt sein wird; wenn wir das tun, die Skala$M_{pl}$davor sitzen$S_{EH}$wird die Materie-Aktion nicht multiplizieren, und so$M_{pl}$legt die relative Skala zwischen der Gravitationswirkung und der Materiewirkung fest.

Die Pointe ist, dass wir die Gesamtskala nicht einfach ignorieren können$M_{pl}^2$, es hat eine physikalische Bedeutung (d.h. wir können nicht absorbieren$M_{pl}$in einen Gesamtkoeffizienten umwandeln, der die Wirkung multipliziert). Andererseits möchten wir die Aktion in eine "Standard"-Form bringen, in der die Gesamtskala nicht vorhanden ist, damit wir die normale Intuition über das Zählen der Leistung anwenden können. Die Lösung besteht darin, mit einem "kanonisch normalisierten Feld" zu arbeiten.$h$, bezüglich$\tilde{h}$von

$$\begin{equation} \tilde{h}_{\mu\nu} = \frac{h_{\mu\nu}}{M_{pl}} \end{equation}$$

Dann nimmt die Einstein-Hilbert-Aktion Gestalt an

$$\begin{equation} S_{EH} = \int d^4 x \ (\partial h)^2 + \frac{1}{M_{pl}} (\partial h)^2 h + \cdots \end{equation}$$

In dieser Form wird deutlich, dass die Wechselwirkungen der Form$(\partial h)^2 h$haben eine "Kopplungskonstante"$1/M_{pl}$mit den Dimensionen 1/Masse, die in der üblichen Weise durch Potenzzählung nicht renormierbar ist.