Welche Bedeutung hat eine dimensionslose Kopplungskonstante?

Das hat alles mit Renormalisierung zu tun.

Quantenfeldtheorien werden typischerweise von ultravioletten Divergenzen geplagt. Diese fiesen Artefakte unserer Idealisierungen entstehen aus unserem Wunsch, willkürliche kurzzeitige Schwankungen in das Bild einzubeziehen. Mit anderen Worten, wenn wir unserer QFT bei beliebigen kurzen Skalen vertrauen (was wir wahrscheinlich nicht sollten), erscheinen Unendlichkeiten als Ergebnisse der Berechnungen von Korrelationsamplituden und die Theorie verliert ihre Bedeutung.

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts wurde eine bestimmte Technik entwickelt, um diese ultravioletten Divergenzen zu überwinden. Es kommt in zwei Schritten:

1. Regularisierung: Man hofft, die ursprüngliche Theorie so zu modifizieren, dass sie endlich ist und der ursprünglichen Theorie in einigen Grenzen ähnelt. Zum Beispiel könnte man den Momentum-Cutoff verwenden, indem man die Fourier-Moden mit großem Momentum künstlich ausschließt:$\omega^2 + p^2 > \Lambda^2$, Wo$\Lambda$wird als Impuls-Cutoff bezeichnet und hat die Dimension der Energie oder der inversen Länge. Die ursprüngliche Theorie wird im Limit wiederhergestellt$\Lambda \rightarrow \infty$.

2. Renormierung: Jetzt, wo wir eine sinnvolle Theorie haben, wird eine clevere Idee eingesetzt. Wir lassen normalerweise zu, dass mehrere Parameter in der Lagrange-Funktion, wie die Kopplungskonstanten, davon abhängen$\Lambda$. Dadurch kann die Änderung in kompensiert werden$\Lambda$durch eine Änderung dieser Parameter in der Weise, dass die Grenze$\Lambda \rightarrow \infty$wird nichtsingulär. Die physikalische Theorie wird dann als Grenze solcher Theorien definiert. Wenn dieser Schritt konsistent durchgeführt werden kann, heißt die Theorie renormierbar. Andernfalls heißt es störungsfrei nicht renormierbar.

Jetzt kommt der wichtige Teil, der oft missverstanden wird. Wir haben die Unendlichkeiten nicht einfach abgeschafft, wir haben die Theorie neu definiert. Eine so definierte Theorie ist nicht gleichbedeutend mit der (unendlichen, nicht existierenden) Theorie mit ursprünglicher Lagrangefunktion. Insbesondere besitzt es bestimmte Symmetrien der ursprünglichen Lagrange-Funktion nicht, insbesondere die Skalensymmetrie.

Betrachten Sie Neuskalierungen der Raumzeitkoordinaten. Die oben definierte Theorie verhält sich unter solchen Neuskalierungen nicht trivial, was als Renormierungsgruppenaktion bezeichnet wird. Tatsächlich könnten wir alle QFTs in drei Kategorien einteilen:

• Entsprechende Kupplungen haben positive Masseabmessungen, d.h$\phi^4$in 3d. Diese nehmen ab, wenn wir uns dem ultravioletten Regime nähern, seit der Abschaltung$\Lambda$relativ zu unserer zunehmenden Energieskala effektiv kleiner wird, so dass die Wechselwirkung unwichtig wird. Alternativ nimmt die Kopplung zu, wenn wir uns dem Infrarotbereich nähern (großskalige Fluktuationen). Daher würden sich solche Wechselwirkungen in großem Maßstab manifestieren.

• Irrelevante Kupplungen haben negative Masseabmessungen, d.h$\phi^4$in 5d. Im Gegensatz zu Fall eins nehmen diese zu, wenn wir uns dem ultravioletten Bereich nähern, sind aber auf großen Skalen irrelevant (daher der Name). Beachten Sie, dass die Störungstheorie im UV zusammenbricht, da die Kopplung explodiert und wir sie nicht länger als klein betrachten und in ihren Kräften erweitern können. Solche Theorien sind immer nicht renormierbar. Die Perturbative Allgemeine Relativitätstheorie gehört zu dieser Kategorie von Theorien.

• Die dritte Kategorie besteht aus "marginalen" Kupplungen mit einer Massenabmessung von Null, wie z$\phi^4$in 4d. Dabei wird das Verhalten der Kopplung im UV und IR vollständig durch Quantenfluktuationen bestimmt und kann nicht aus einer einfachen Dimensionsanalyse abgeleitet werden. Zum Beispiel explodiert QED im UV (auch als Landau-Pol-Problem bekannt), während nicht-Abelsche Eichtheorien mit kompakten Eichgruppen asymptotisch sicher sind. Diese Theorien können sowohl renormierbar als auch nicht renormierbar sein.

Fazit: Dimensionslose Kopplungen sind am interessantesten, weil sie zu renormierbaren Theorien führen können. Außerdem sind Kopplungen mit negativer Massendimension im Infrarotbereich irrelevant und immer perturbativ nicht renormierbar (obwohl sie manchmal nicht perturbativ sinnvoll sein könnten, das beste Beispiel ist wahrscheinlich die Allgemeine Relativitätstheorie in 3 Raumzeitdimensionen). Ich hoffe, das beantwortet Ihre Frage.