Warum hat das Ising-Modell am kritischen Punkt Skaleninvarianz?

Ich glaube nicht, dass es eine akzeptierte Antwort darauf gibt, warum dies passiert. Dies wird üblicherweise als „ Skalierungshypothese “ bezeichnet, dh dass sich thermodynamische Größen und Korrelationsfunktionen in der Nähe von (kontinuierlichen) Phasenübergängen typischerweise als Potenzgesetze verhalten, die durch universelle Exponenten gekennzeichnet sind, die unabhängig von mikroskopischen Parametern eines Systems sind .

Das Wichtigste zuerst, Skaleninvarianz und Korrelationslänge ($\xi$) Divergenz gehen Hand in Hand. Die Korrelationslänge legt im Grunde die Längenskala für das interessierende physikalische Phänomen fest: wenn ich ein Teilchen an einer Position wackele$x$, ist dieser Effekt bis zu einer Entfernung zu spüren$x+\xi$. Ist das System skaleninvariant, was bedeutet, dass dasselbe Phänomen auf kurze, mittlere und lange Entfernungen mit derselben Intensität vorhanden ist?$\xi$kann nicht endlich sein. Daher muss es unendlich sein.

Es sollte auch beachtet werden, dass Sie realistisch gesehen nicht "wirklich" Skaleninvarianz auf allen Skalen haben. Ich meine, wenn Sie genug hineinzoomen, kommen Sie zu subatomaren Strukturen, die offensichtlich nicht an Phasenübergängen wie Flüssig-Gas oder Magnetisierungen teilnehmen. Daher zeigen die visuellen Darstellungen der RG-Methode eher ein Verkleinern als ein Vergrößern.

Eine mögliche Antwort auf die Warum- Frage ist die folgende.
Ein Phasenübergang ist durch eine nichtanalytische freie Energie gekennzeichnet. Das heißt, etwas explodiert und geht am kritischen Punkt ins Unendliche. Unendlich ist unendlich, es gibt keine Nuancen von Unendlichkeit. Nahe genug am Phasenübergang, um von dieser Unendlichkeit dominiert zu werden, werden die Besonderheiten des Materials und des Maßstabs, den wir betrachten, irrelevant. Sie würden also erwarten, sich einem "universellen" Verhalten über verschiedene Materialien, verschiedene Konfigurationen und verschiedene Längenskalen hinweg zu nähern.
Die Mathematik zeigt dir dann meist die Korrelationslänge$\xi$geht wie$\propto (T-T_{\mathrm{c}})^{-\nu}$, das ist$\xi\rightarrow\infty$als$T\rightarrow T_{\mathrm{c}}$. Daraus folgt die Skaleninvarianz.