Warum zeigt eine verschwindende Energielücke einen Phasenübergang an?

Ich nehme an, Ihre Theorie wird von einem Hamiltonianer beschrieben$H$mit stetigem Parameter$x$. Ein Phasenübergang bedeutet, dass sich der Grundzustand für einen bestimmten Wert dieses Parameters plötzlich (und nicht gleichmäßig) ändert. Wenn der Ausdruck des Hamiltonian in Bezug auf den Parameter glatt ist$x$, sollte auch der Grundzustand glatt sein.

Aber es gibt eine Ausnahme: Wenn sich die beiden kleinsten Eigenwerte kreuzen, ändert sich die Grundzustandsnatur und Sie können eine Diskontinuität haben. An dem Punkt, an dem sie die Energielücke (die Differenz zwischen den beiden niedrigsten Energien) kreuzen, verschwindet sie.

Wirklich einfaches Beispiel nicht physisch:$H = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix}$hat Eigenwerte$1-x$Und$1+x$, Eigenvektoren$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$Und$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Wenn$x = 0$, die Energielücke verschwindet und der Grundzustand ändert sich plötzlich, ansonsten ist es glatt (sogar konstant).

Die einzige relevante Längenskala in der Nähe eines Phasenübergangs ist die Korrelationslänge$\xi$. Durch Dimensionsanalyse gehorcht die Massenlücke$m_G \sim \xi^{-1}$, und bei einem Phasenübergang zweiter Ordnung erwarten wir allgemein$\xi \to \infty$, was ein lückenloses System impliziert.

Eine genauere Art, dies auszudrücken, ist, dass sich die Zweipunkt-Korrelationsfunktion bei großen Entfernungen wie folgt verhält (in allen „vernünftigen“ Fällen, die wir normalerweise sehen):

$$\frac{e^{-r/\xi}}{r^{d-2+\eta}}$$ Dies definiert tatsächlich die Korrelationslänge. Durch das obige Argument ist die Korrelationslänge die inverse Massenlücke, sodass Lückenlosigkeit im Allgemeinen Potenzgesetzkorrelationen impliziert, die Phasenübergänge signalisieren.

Das einfachste Beispiel dafür ist der exakt lösbare masselose freie Skalar. Wenn sie massiv ist, wird die Theorie durch die Lagrange-Funktion beschrieben$(\partial \phi)^2 + m^2 \phi^2$wobei ich alle Konstanten vernachlässigt habe. Es ist einfach, den Korrelator genau zu lösen, und es zerfällt wie$e^{-mr}$mal eine Macht wie$r \to \infty$. Wenn die Massenlücke verschwindet, sind wir am kritischen Punkt.