Was ist die Definition der Korrelationslänge für das Ising-Modell?

Das ist keine Definition der Korrelationslänge. (Es ist eine Definition des kritischen Exponenten.)

Die Korrelationslänge wird in Bezug auf die 2-Punkt-Korrelationsfunktion von Spinobservablen definiert. Wählen Sie Punkte aus$x$und$y$auf dem Gitter und betrachte den Erwartungswert$\langle s(x) s(y) \rangle$des Produkts des Spins beobachtbar bei$x$und der bei beobachtbare Spin$y$. Diese Größe gibt an, wie stark der Spin korreliert$x$und die Drehung bei$y$sind als Funktion der Temperatur, der Kopplungskonstante und des Abstands dazwischen$x$und$y$. Wenn$T > T_c$, dann stirbt die Korrelationsfunktion exponentiell schnell ab$|x-y|$.

$\langle s(x) s(y) \rangle \sim e^{-\frac{|x-y|}{\xi(T)}}$

Die Korrelationslänge ist per Definition die Konstante (in$x$und$y$, aber nicht drin$T$), die Ihnen sagt, wie schnell die Korrelationsfunktion verschwindet.

Nur eine kleine Ergänzung zu dem, was user1504 gesagt hat: Die Korrelationslänge kann definiert werden$T<T_c$auch, damit$\big\langle\big(s(x)-\langle s(x) \rangle \big)\big(s(y)-\langle s(y) \rangle \big)\big\rangle=e^{-\frac{|x-y|}{\xi}}$

Das zweidimensionale Ising-Modell mit quadratischem Gitter, das ein vereinfachtes Modell der Realität ist, weist einen Phasenübergang auf. Onsager zeigte, dass es eine bestimmte Temperatur gibt, die Curie-Temperatur oder kritische Temperatur genannt wird$T_c$, unterhalb dessen das System ferromagnetische Fernordnung zeigt. Darüber ist es paramagnetisch und ungeordnet.

Bei einer Temperatur von Null ist jeder Spin entweder in Richtung +1 (oder -1) ausgerichtet. Wenn wir die Temperatur erhöhen, halten wir darunter$T_c$, einige Drehungen beginnen sich in die entgegengesetzte Richtung zu orientieren. Die typische Längenskala der Clusterbildung wird Korrelationslänge genannt,$\xi$, und es wächst, wenn wir die Temperatur erhöhen und divergiert bei$T_c$. Wenn wir darüber hinausgehen$T_c$beginnt die Korrelationslänge abzunehmen und wird bei unendlicher Temperatur Null.

2-dimensionale Ising-Modellsimulation auf 100x100-Gitter. Von links nach rechts und von oben nach unten steigt die Temperatur. Im Gleichgewicht, wann$T<T_c$, sehen typische Konfigurationen in der +-Phase wie ein „Meer“ aus +1 Drehungen mit „Inseln“ aus -1 Drehungen aus. Bei größeren Gittergrößen haben die „Inseln“ „Seen“ mit +1 Drehungen. In diesem Bild sind +1 Spins schwarz und -1 Spins weiß. Jedes verbundene weiße Objekt ist ein Cluster.

Formell :

Die Zwei-Punkt-Korrelationsfunktion ist definiert als

Da die technische Herleitung und Erklärung der Korrelationslänge bereits ausführlich diskutiert wurden, möchte ich lieber mein Verständnis dieser Thematik teilen.

Der Begriff der Korrelationslänge ist bei der Untersuchung des thermischen oder Quantenphasenübergangs ziemlich allgemein. Es ist die einzige relevante Längenskala nahe dem kritischen Punkt.

Denken wir an ein magnetisches System. Normalerweise neigen benachbarte Spins dazu, korreliert zu sein. Weg vom kritischen Punkt,$T \neq T_c$, erstreckt sich ihre Korrelation bis zu einer bestimmten Entfernung$\xi$, Korrelationslänge genannt. Dies ist die typische Größe der Bereiche, in denen die Spins den gleichen Wert annehmen, wie unten gezeigt

Wobei die Größe der magnetischen Domäne durch die Korrelationslänge gegeben ist. Natürlich kann man ihre Definition im Hinblick auf das asymptotische Verhalten der Korrelationsfunktion präzisieren, aber das physikalische Bild bleibt dasselbe, wie es dem obigen Diagramm entspricht.