Warum divergiert die Korrelationslänge am kritischen Punkt?

Es ist nicht die Korrelationslänge des Systems, die Sie betrachten sollten, sondern die Korrelation der Schwankungen. Bei T>>Tc sind die Spins zufällig orientiert und die Längenskala der Schwankungen ist sehr klein. Wenn Sie sich Tc nähern, werden die Schwankungen stärker korreliert und die Längenskala nimmt ins Unendliche zu. In ähnlicher Weise sind für den Ferromagneten bei Temperaturen viel kleiner als Tc alle Spins ausgerichtet. Die Schwankungen bei 0 < T << Tc haben kurze Korrelationslängen. Wenn Sie das System erhitzen, ist es immer noch größtenteils geordnet, aber die Anzahl der Spins, die in die entgegengesetzte Richtung zeigen, nimmt zu, und damit auch die Korrelationslänge dieser Fluktuationen

Ich denke, Ihr Problem ist, dass eine Korrelationslänge$\xi$ist nicht als Korrelation im Sinne der Statistik zu interpretieren, z

$\frac{<(s(x)-\lt s(x) \gt)(s(y)-<s(y)>)>}{\sqrt{<\left( s(x)-\lt s(x)>\right)^2 \lt(s(y)-\lt s(y)>)^2 \gt)}}$,

sondern definiert über$<(s(x)-< s(x)>)(s(y)-<s(y)>)>=e^{-|x-y|/\xi}$

(siehe zum Beispiel ( https://physics.stackexchange.com/q/59690 ).

Nehmen Sie an, dass bei Nulltemperatur alle Spins "eingefroren" und perfekt ausgerichtet und daher perfekt korreliert sind (im statistischen Sinne). Allerdings seit$s(x)=<s(x)>$Und$s(y)=<s(y)>$in diesem Fall folgt daraus$\xi=0$.

Zum zweiten Teil der Frage: Kritische Punkte sind Phasenübergänge, die Fixpunkten im Renormierungsgruppenfluss entsprechen. Das bedeutet, dass der Prozess, das Spingitter fortlaufend in Blöcke aufzuteilen, sie herauszuintegrieren und einen neuen Hamilton-Operator zwischen diesen Blöcken zu konstruieren, einen Fixpunkt erreicht hat: Die Form des Hamilton-Operators ändert sich nicht mehr, nur seine Parameter (Kopplungen) bei jedem weiteren Block-Spin-Vorgang neu eingestellt werden. Dies wiederum bedeutet, dass das System seinen Maßstab verloren hat und maßstabsfrei geworden ist. Wenn ich also zwei Bilder des Materials machen würde, eines in der Größe von einem Zoll und das andere in der Größe von einem Mikrozoll, könnten Sie mir nicht sagen, welches welches ist. Die einzige Möglichkeit, dies mathematisch zu beschreiben, besteht darin, ein Potenzgesetz anzunehmen, das nachgibt$\xi(T) \sim (T-T_c)^{-\nu}$Wo$T_c$ist die kritische Temperatur und$\nu$ist die Skalierungsdimension, die nicht unbedingt ganzzahlig sein muss. Daher divergiert die Korrelationslänge am kritischen Punkt.