Warum fallen Spinkorrelationsfunktionen in Ising-Modellen exponentiell unterhalb der kritischen Temperatur ab?

Beachten Sie zunächst, dass, wie Sie sagen, die 2-Punkt-Funktion$\langle \sigma_i \sigma_j\rangle$nicht gegen Null tendiert$\|j-i\|\to\infty$Wenn$T<T_{\rm c}$; nämlich,

$$\lim_{\|j-i\|\to\infty} \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ = (m^*(T))^2,$$ Wo $m^*(T)=\langle\sigma_0\rangle^+$ist die spontane Magnetisierung (die $+$hochgestellt zeigt an, dass die Erwartung in der genommen wird $+$Zustand).

Also, wenn man sagt, dass Korrelationen exponentiell abfallen, wenn$T<T_{\rm c}$, spricht man eigentlich von den abgeschnittenen Korrelationsfunktionen. Die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion ist definiert als

$$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ = \bigl\langle (\sigma_i - \langle \sigma_i\rangle^+) (\sigma_j - \langle \sigma_j\rangle^+) \bigr\rangle^+ = \langle \sigma_i \sigma_j\rangle^+ - \langle \sigma_i\rangle^+ \langle \sigma_j\rangle^+.$$ Sie misst, wie korreliert die Schwankungen an $i$Und $j$Sind. (Probabilistisch gesehen ist dies einfach die Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen $\sigma_i$Und $\sigma_j$.) Die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion konvergiert gegen $0$bei allen Temperaturen $T$. Dies ist eine allgemeine Tatsache, die in den reinen Phasen aller Modelle bei jeder Temperatur zutrifft.

Nun zu Ihrer Frage: Die abgeschnittenen Korrelationen fallen im 2D-Ising-Modell für alle tatsächlich exponentiell schnell ab$T\neq T_{\rm c}$.

Wenn$T<T_{\rm c}$, sollten Sie sich das wie folgt vorstellen: Bei niedrigen Temperaturen nehmen die Spins typischerweise die gleichen Werte an (z$+1$im$+$Phase), mit nur seltenen Schwankungen. Eine nützliche Möglichkeit, diese Schwankungen zu betrachten, besteht darin, die Konfigurationen aus geometrischer Sicht zu betrachten: Zeichnen Sie ein Einheitslängensegment, das jedes Paar von nächstgelegenen Eckpunkten trennt, an denen die Spins entgegengesetzte Werte annehmen. Die Vereinigung dieser Segmente bildet die Peierls-Konturen der Konfiguration.

Es ist leicht nachzuprüfen, dass die mit jeder solchen Kontur verbundenen Energiekosten proportional zu ihrer Länge sind. Beachten Sie auch, dass die Konturen eine vollständige Beschreibung der Konfiguration liefern (wenn Sie wissen, dass Sie sich in der$+$Phase).

Was hat das nun mit dem exponentiellen Abfall von Korrelationen zu tun? Wie oben erwähnt, die abgeschnittene 2-Punkt-Funktion$\langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+$misst, wie korreliert die Schwankungen an$i$Und$j$Sind. Was ist das Ereignis, das zu einem gleichzeitigen Umdrehen beider Spin führen wird$i$Und$j$? Es ist nicht schwer, sich davon zu überzeugen, dass dies geschehen sollte, wenn eine große Kontur gleichzeitig die Eckpunkte umgibt$i$Und$j$. Mit Hilfe von Korrelationsungleichungen kann man das nämlich überprüfen

$$0\leq \langle \sigma_i; \sigma_j\rangle^+ \leq {\rm Prob} (\text{there exists a contour surrounding both $i$ and $j$}),$$ bei dem die $+$hochgestellt zeigt an, dass die Berechnung in erfolgt $+$Phase. Aber das Ereignis auf der rechten Seite hat eine Wahrscheinlichkeit, die in der Ferne exponentiell klein ist $\|j-i\|$.

All dies kann rigoros gemacht werden. Bei ausreichend niedrigen Temperaturen können Sie Cluster-Expansionstechniken verwenden (dies funktioniert in jeder Dimension$d\geq 2$). Eine ausführliche Argumentation finden Sie beispielsweise in Theorem 5.27 in diesem Buch . Im Maß$2$, kann dies auch störungsfrei bewiesen werden, entweder durch explizite Berechnungen oder indem die Kosten einer großen Kontur mit der Oberflächenspannung im Modell in Beziehung gesetzt werden; siehe zum Beispiel dieses Papier .

Als letzte Bemerkung: Das obige Argument legt nahe, und Sie können dies rigoros machen (siehe zum Beispiel den oben erwähnten Beweis der Clustererweiterung), dass die Korrelationslänge gegen Null tendiert, wenn$T\downarrow 0$. Dies liegt daran, dass es äußerst unwahrscheinlich wird, dass eine Kontur zwei entfernte Eckpunkte umgibt, und Fluktuationen bei sehr niedrigen Temperaturen zu im Wesentlichen rein lokalen Ereignissen werden und somit (ungefähr) unabhängig an verschiedenen Eckpunkten auftreten.