Mean-Field-Theorie: Variationsansatz versus Selbstkonsistenz

Ich habe eine allgemeine Frage zu Mean-Field-Ansätzen, die auf die Quanten- oder klassische statistische Mechanik angewendet werden.

Bedeutet die Bestimmung des mittleren Feldes durch einen Variationsansatz immer , dass die Selbstkonsistenz erfüllt ist? Gibt es außerdem einige Fälle, in denen es physikalisch gerechtfertigt ist, nach Sattelpunkten zu suchen, und in denen ein Variationsansatz irreführend ist (z. B. wenn die Energie von unten in Bezug auf die Parameter des mittleren Felds unbegrenzt ist)?

Betrachten Sie zum Beispiel den einfachen Fall des ferromagnetischen Ising-Modells. Dort führt man die Magnetisierung ( m ) als Mean-Field-Parameter mit m = ⟨ s ich z ⟩ wobei der Erwartungswert in Bezug auf den Mean-Field-Hamiltonoperator genommen wird, der davon abhängt m (und s ich z ist die Spinvariable s ich z = ± 1 ). In diesem speziellen Fall, wenn man eine Lösung für findet m = ⟨ s ich z ⟩ , ist dies gleichbedeutend mit dem Finden eines Extremums für die Energie oder die freie Energie. Daher ist meine Frage einfach: Anstatt nach der Selbstkonsistenz zu lösen, kann man stattdessen nach dem Minimum der globalen Energie (oder freien Energie) in Bezug auf die Parameter des mittleren Felds suchen (und ist dieser Ansatz physikalisch immer sinnvoll)? Hier gebe ich das Beispiel des Ising-Modells, aber meine Frage gilt auch für jedes Modell (fermionische, bosonische, Spin-Modelle usw.).

Ich suche hier mehr oder weniger nach Gegenbeispielen, falls es welche gibt.

im Gleichgewicht sollten beide Ansätze zum gleichen Ergebnis führen (nach thermodynamischem Argument)

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Ihre Frage: Anstatt nach der Selbstkonsistenz zu lösen, kann man stattdessen nach dem globalen Minimum der Energie (oder freien Energie) in Bezug auf die mittleren Feldparameter suchen (und ist dieser Ansatz physikalisch immer sinnvoll)?

Nun, tatsächlich ist der grundlegende Ansatz für die Variationsmethode die Minimierung der freien Energie in Bezug auf die Variationswirkung. Wenn wir definieren

F = − 1 β ln ⁡ Z Z = ∫ D ϕ e − S / ℏ
wo Z eine Partitionsfunktion ist, dann wenn S v a r eine Variationswirkung mit Variationsparameter ist (z. B. Ising-Hamiltonian, dessen Wechselwirkung durch den Mean-Field-Parameter m ersetzt wird, wie Sie erwähnt haben), müssen wir minimieren
F ≤ F ∗ = F v a r − 1 β ℏ ⟨ S − S v a r ⟩ v a r
wo F v a r = − β ln ⁡ Z v a r und der Erwartungswert wird in Bezug auf die Variationswirkung bewertet. Wenn Sie die Minimierungsbedingung für erweitern F ∗ , erhalten Sie eine Selbstkonsistenzgleichung für das Ising-Modell. Daher Selbstkonsistenzgleichung m =< S ich > ist in der Tat "physische Intuition", die rigoros aus der Minimierung der Variationswirkung abgeleitet werden kann.

Wie Nikos M. ausgeführt hatte, sollten beide im Gleichgewicht zum gleichen Ergebnis führen.

Dies könnte auch aus dem grundlegenden Formalismus der Mean-Field-Theorien visualisiert werden, der besagt, dass die freie Energie des Systems eine obere Grenze hat.

F ≤ H 0 ¯ − T S

Und diese Funktion (Bogoliubov-Ungleichung) wird minimiert, um Observablen zu bestimmen.

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