Interpretation des 1D-Transverve-Feld-Ising-Modell-Vakuumzustands in einer Spin-Sprache

Nachdem ich darüber nachgedacht habe, muss ich sagen, dass es nicht so einfach ist, wie ich dachte. Die JW-Transformation am transversalen Ising-Modell enthält einige Feinheiten.

Also um fortzufahren,

1) Nehmen Sie Ihren Grundzustand für ANY $h$ausgedrückt in der spinlosen Fermion-Sprache. Ich betone JEDEN , weil diese Bedingung immer zutrifft – es gilt nicht nur für$h<1$. Dies ist nun das Vakuum, angegeben durch$| 0 \rangle$st$a_k |0\rangle = 0$. Dies ist eine nicht-triviale Bedingung, die in der Spin-Sprache geschrieben ist, dh wir nehmen die Operatoren$a_k$, und gehen Sie wie folgt vor:

2) Wenden Sie die umgekehrte Bogoliubov-Transformation an$a_k$:$\{a_k\}\to \{b_k\}$.

3) Wenden Sie eine inverse Fourier-Transformation an:$\{b_k\} \to \{b_i\}$

4) Wenden Sie die inverse Jordan-Wigner-Transformation an:$b_i = f(\sigma^x,\sigma^y,\sigma^z)$.

Alle diese Transformationen sind umkehrbar (siehe dieses PDF für JW und inverse JW-Transformation ), weshalb Sie das tun können. So komponiert man alle Karten, die man ausdrücken kann$a_k = g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, Wo$g$ist die höchst nicht triviale Funktion.

Dann muss man den Kern von finden$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, dh$|\psi\rangle$st$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi\rangle = 0$.$|\psi \rangle$ist der in die Spin-Basis geschriebene Grundzustand.

Sie können ein Programm schreiben, das dies symbolisch für Sie erledigt, aber trotz all Ihrer Bemühungen werden Sie wegen all der Jordan-Wigner-Strings einen höchst nicht lokalen Grundzustand in der Spin-Basis haben.

Anmerkung:

Mit dieser Transformation sind viele Feinheiten verbunden. Was sehr oft nicht erwähnt wird, wenn man das Spektrum herleitet$\epsilon(k,h)$ist, dass die JW-Transformation separat für Zustände mit unterschiedlicher Parität im Hilbert-Raum durchgeführt werden muss.

Dies liegt daran, dass die Auferlegung periodischer Randbedingungen im Spinraum die Auferlegung periodischer Randbedingungen für eine ungerade Anzahl von Fermionen, aber antiperiodische Randbedingungen für eine gerade Anzahl von Fermionen impliziert. Dies wirkt sich auf die Fourier-Transformation aus. Bei der Berechnung einer makroskopischen Größe in der thermodynamischen Grenze gibt es keinen Unterschied, und viele Bücher / Ressourcen verwerfen einfach die Erwähnung der beiden Fälle. Aber diese Unterscheidung muss gemacht werden, wenn man damit vorsichtig sein will.

Eine Frage, die sich mir beim Nachdenken über dieses Problem stellte, war: hm, in einer Grenze,$h\to\infty$, die Grundzustände eindeutig sind, während in der anderen Grenze$h \to 0$der Grundzustand ist 2-fach entartet. Kann ich das in der Fermion-Sprache leicht sehen?

Es gibt zwei Auflösungen, die ich zu dem Problem denken kann.

1) Es könnte sein, dass der Grundzustand$|0\rangle_k$für jede$k$ist nicht einzigartig. Das heißt, anstelle der irreduziblen zweidimensionalen Darstellung des fermionischen CAR, die wir normalerweise annehmen$a_k$handelt,$a_k$könnten Operatoren in a sein$2 \times d$(reduzierbare) dimensionale Darstellung, mit$d$„Grundzustände“.

2) Die geraden und ungeraden Sektoren des vollen Hilbert-Raums führen zu zwei Bedingungen für den Grundzustand:$a_k$im geraden Sektor ergibt eine Bedingung$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi \rangle = 0$während$a_k$im ungeraden Sektor gibt eine andere Bedingung$g'(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)|\psi'\rangle$= 0.

Es könnte vielleicht sein, dass wenn$h\to \infty$,$|\psi\rangle = |\psi'\rangle$, während wenn$h \to 0$,$|\psi\rangle \neq |\psi'\rangle$.

Es scheint mir wahrscheinlicher, dass 2) die richtige Analyse ist, obwohl es eine schwierige Behauptung sein wird, sie zu beweisen.

Ich denke, das Fazit ist, dass jeder glaubt, dass die Umkehrung der Jordan-Wigner-Operation in der Lage sein muss, die einfachen Eigenzustände zu erzeugen, die man bei beiden sehr leicht erhält$h \rightarrow 0$oder$h \rightarrow \infty$, aber nachdem ich die Literatur sehr gründlich durchgesehen habe, scheint es, dass niemand dies explizit berechnet hat.

A priori gibt es keinen Grund, warum es zu Inkonsistenzen kommen sollte, und es wird sicherlich erwartet, dass die in der Antwort von nervxxx beschriebene Methode funktioniert, aber sie wurde noch nie zuvor durchgeführt.