Was passiert mit der freien Energie des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wirbeln?

Das klassische 2d-Ising-Modell hat einen Hamilton-Operator der Form:

H = − ∑ M , N = 0 M , N J 1 X M , N X M + 1 , N + J 2 X M , N X M , N + 1

Die Partitionsfunktion für das Modell kann als Summe über alle Konfigurationen der Spins geschrieben werden X ich J mal der Boltzman-Faktor. Bis auf eine über alles multiplikative Konstante können wir dies umschreiben als:

Z = ∑ X ich J ∏ M ( 1 + T 1 X M N X M + 1 , N ) ( 1 + T 2 X M N X M , N + 1 )

Dann können wir die Summe auf beliebige Weise ausführen. Mein derzeitiger Favorit ist, dieser Referenz zu folgen: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01017042?LI=true , oder siehe http://link.springer.com/article/10.1007/BF02896231 . Sie schreiben die Partitionssumme als Integral über Grassmann-Variablen um. Die Berechnung ist an einigen Stellen technisch, aber nach meinem Verständnis summieren sie sich im Wesentlichen über alle Schleifen in der Ebene mit geeigneten Boltzmann-Gewichten durch eine bequeme Wahl des Integrals. Dies kann man sehen, indem man das Exponential erweitert und erkennt, dass die einzigen Terme, die nach der Durchführung der Integration übrig bleiben, Schleifen sind, die Domänenwände beschreiben.

Sie führen erfolgreich die Integration auf einem endlichen Gitter mit der Topologie eines Torus durch und erhalten die freie Energie. Wenn ich mehr Zeit habe, werde ich einige dieser Berechnungen detailliert beschreiben. Aber jetzt habe ich eine Frage: Was ist, wenn wir Wirbel im System betrachten wollen?

Eine Möglichkeit, zwei Wirbel in das Modell einzuführen, besteht darin, zu fordern, dass eine endliche Anzahl benachbarter Reihen andere Randbedingungen als alle anderen erfüllt.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, den System-Hamilton-Operator auf einem Zylinder zu betrachten und antiperiodische Randbedingungen in der unteren Hälfte und periodische in der oberen Hälfte zu spezifizieren.

Insbesondere würde mich interessieren, was mit der freien Energie in Bezug auf den Fall ohne Wirbel in der thermodynamischen Grenze passiert (dies ist möglicherweise der einzige lösbare Teil des Problems).

Ich bin mir nicht sicher, was Sie im Zusammenhang mit dem Ising-Modell Wirbel nennen (Sie können sie natürlich in Systemen mit kontinuierlichem Spin haben). Was Sie tun können (und vielleicht auch meinen), ist das Vorhandensein von Schnittstellen im System zu erzwingen. Das Erzwingen der Anwesenheit von endlich vielen wird die (begrenzende) freie Energiedichte nicht beeinflussen.
@YvanVelenik Ich hätte klarer sein sollen, mit Wirbel meine ich eine Saite mit negativen Kopplungen, die von unendlich hereingezogen werden und irgendwann enden. Jede Wilson-Schleife, die diesen Punkt enthält, ist also negativ, während alle anderen positiv sind. Ich denke, die freie Energie sollte sich in die Ordnung 1/N ändern - stimmen Sie zu?
Ja, ich stimme zu, es wird die freie Energiedichte des endlichen Volumens durch eine Ordnungsfrist beeinflussen 1 / N (d. h. die den Defektlinien zugeordnete Energie der Ordnung N , dividiert durch das Gesamtvolumen, der Bestellung N 2 ).

Antworten (1)

Lassen Sie mich das (triviale) Argument aufschreiben, da es für Kommentare zu lang ist.

Betrachten wir das Ising-Modell in einer endlichen Menge Λ mit einer willkürlichen, aber festen Randbedingung. Wir betrachten eigentlich zwei Versionen des Modells:

  • Das ferromagnetische Standardmodell mit Hamiltonian
    H Λ ( σ ) = − J ∑ ( ich , J ) ∩ Λ ≠ ∅ σ ich σ J ,
    wobei die erste Summe über alle Paare von nächsten Nachbarn geht, von denen mindestens einer gehört Λ .
  • Ein Modell, bei dem das Vorzeichen der Kopplungskonstanten für einen Satz geändert wurde E der nächsten Nachbarn, das heißt mit Hamiltonian
    H Λ E ( σ ) = − J ∑ ( ich , J ) ∩ Λ ≠ ∅ ( ich , J ) ∉ E σ ich σ J + J ∑ ( ich , J ) ∩ Λ ≠ ∅ ( ich , J ) ∈ E σ ich σ J = H Λ ( σ ) + 2 J ∑ ( ich , J ) ∩ Λ ≠ ∅ ( ich , J ) ∈ E σ ich σ J .

Das folgern wir sofort für jede Konfiguration σ ,

| H Λ ( σ ) − H Λ E ( σ ) | ≤ 2 J | E | ,
Wo | E | = # { ( ich , J ) ∩ Λ ≠ ∅ : ( ich , J ) ∈ E } ist die Anzahl der betroffenen Nachbarpaare in Λ . Folglich bezeichnet durch Z Λ Und Z Λ E die entsprechenden Partitionsfunktionen,
Z Λ e − 2 β J | E | ≤ Z Λ E ≤ Z Λ e + 2 β J | E | ,
und deshalb,
| 1 β | Λ | Protokoll ⁡ Z Λ − 1 β | Λ | Protokoll ⁡ Z Λ E | ≤ 2 J | E | | Λ | ,
Wo | Λ | ist die Anzahl der Scheitelpunkte in Λ .

In Ihrem Fall, | Λ | = N 2 (z. B. für einen quadratischen Kasten mit Seitenlänge N ) Und | E | ≤ C N für eine feste Konstante C (wenn Sie eine endliche Anzahl von Defekten einführen). Die Änderung der endlichen Volumenfreier-Energie-Dichte ist also höchstens in der Größenordnung 1 / N . Zu beweisen, dass es tatsächlich in dieser Größenordnung (und nicht viel kleiner) ist, ist schwieriger (und nur bei niedrigen Temperaturen wahr).

Was passiert mit der freien Energie des zweidimensionalen Ising-Modells mit Wirbeln?
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