Paradoxon bei T=0T=0T=0 im 1D-Ising-Modell

Es gibt zwei Möglichkeiten, dieses "Paradoxon" zu lösen.

Die erste ist zu sagen, wie es wahrscheinlich_jemand in den Kommentaren vorgeschlagen hat , dass ein realistisches System niemals perfekt von Magnetfeldern isoliert sein wird. Ein infinitesimales externes Magnetfeld reicht aus, um einen der beiden Grundzustände zu bevorzugen, wodurch einer der beiden Grundzustände in der Grenze ausgewählt wird$T\to 0$.

Die zweite Entschließung ist formeller. Anscheinend, wenn der Hamiltonian$\mathcal H(\sigma_1, \dots, \sigma_N) = \mathcal H (\{\sigma_i\})$ist invariant unter Umkehrung aller Spins$\sigma_i \to -\sigma_i$, dann auch die kanonische Wahrscheinlichkeit des Zustands$\{\sigma_i\}$

$$P[\mathcal H\{\sigma_i\}]=\frac{e^{-\beta \mathcal H(\{\sigma_i\})}}{Z} \tag{1}$$

wird unter der gleichen Transformation invariant sein. Dies bedeutet, dass die Magnetisierung

$$m \equiv\langle \sigma_i \rangle = \sum_{\{\sigma_i\}} \sigma_i P[\mathcal H (\{\sigma_i\})]$$

muss immer sein$0$, seit$m$Und$-m$treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.

Für ein endliches Volumensystem ist die Richtigkeit dieses Arguments unwiderlegbar: Es gibt keine (wahren) Phasenübergänge bei endlichem Volumen . Ein Finite-Volumen-Ising-Modell wird nur scheinbar eine definierte Magnetisierung als auswählen$T\to0$, aber wenn Sie lange genug warten (eine exponentiell lange Zeit mit der Systemgröße$N$), wird sich die Magnetisierung schließlich immer wieder umkehren.

Allerdings da$V \to \infty$,$(1)$wird nur formal, da die Zustandssumme divergiert. In diesem Fall ist dieses Argument falsch, und es kann gezeigt werden, dass while

$$\lim_{V\to \infty} \lim_{h \to 0^{\pm}} m = 0$$

du hast

$$\lim_{h \to 0^{\pm}} \lim_{V\to \infty} m = \pm 1$$

Dies nennen wir spontane Symmetriebrechung : Selbst in Abwesenheit eines externen Feldes (das die Symmetrie explizit brechen würde) wird ein einzelner Grundzustand den zwei möglichen Grundzuständen vorgezogen.