Temperatur in der Hamilton-Grenze

Es gibt eine bekannte Verbindung zwischen der statistischen Mechanik in D-Raumdimensionen und der Quantenfeldtheorie in D-1-Raumdimensionen. Eine Änderung der Temperatur in der statistischen Mechanik entspricht einer Änderung der Kopplungskonstanten in der QFT. Eine Änderung der Temperatur in QFT entspricht einer Änderung der Systemgröße des klassischen Systems in euklidischer Zeitrichtung. Ich wundere mich über die Beziehung zwischen diesen beiden unterschiedlichen Temperaturbegriffen (am konkreten Beispiel des Ising-Modells).

Lassen Sie mich das Argument skizzieren, das den klassischen Ising-Modell-Hamiltonoperator in 2D zu einem Quantensystem führt. Der klassische Hamiltonoperator, der in der Zustandssumme erscheint, ist

H Kl = − ∑ ich , J β X σ 3 ( ich , J ) σ 3 ( ich + 1 , J ) + β j σ 3 ( ich , J ) σ 3 ( ich , J + 1 ) ,
bei dem die β X , β j sind Kopplungskonstanten in x- und y-Richtung, die jeweils einen Faktor der inversen Temperatur enthalten β da dies im Exponenten der Partitionsfunktion erscheint.

Wir können die y-Richtung als euklidische Zeit annehmen und uns die Übertragungsmatrix zwischen Zeilen als einen Zeitübersetzungsoperator vorstellen e − H τ Wo τ ist der y-Gitterabstand.

Herausfinden H Wir können die Grenze nehmen, wo τ → 0 , aber um die Eigenschaften im großen Maßstab gleich zu halten, müssen wir auch nehmen β j → ∞ , β X → 0 in einer Weise, die einen neuen Parameter beinhaltet λ . Dieser Parameter kann als Information über die ursprüngliche Temperatur angesehen werden.

Durch dieses Verfahren (die Hamilton-Grenze) erhalten wir den 1+1D-Quanten-Hamilton-Operator

H = − ∑ ich σ 1 ( ich ) + λ σ 3 ( ich ) σ 3 ( ich + 1 ) .

Jetzt ist meine Frage, woher kommt die Größe des ursprünglichen Gitters L in der zeit(y)richtung zum spiel kommen? Um zur ursprünglichen Partitionsfunktion zurückzukehren, betrachten wir sie Tr e − L H . Aber wenn man es sich als ein Quantensystem vorstellt L spielt die Rolle der inversen Temperatur. Aber alle Temperaturinformationen sollen codiert werden λ , mit λ = 1 markiert die Position des kritischen Punktes.

Haben wir heimlich genommen L → ∞ in der Hamilton-Grenze, in diesem Fall sollten wir Vakuumerwartungswerte verwenden, um über das ursprüngliche System zu sprechen (und deshalb hängt der kritische Punkt nur von ab λ )? Wenn man über die statistische Mechanik auf einem endlichen Gitter spricht, ist es fair zu verwenden Tr e − L H , was so aussieht, als hätte es Auswirkungen auf zwei "Temperaturen"?

Am Ende fand ich eine Diskussion darüber in Cardys Buch Scaling and Renormalization. In den Behandlungen, die ich gesehen habe, nehmen sie tatsächlich ein L → ∞ , und der gewöhnliche Phasenübergang erscheint durch Variieren λ . Die Quantentemperatur unterscheidet sich tatsächlich von der Stat-Mech-Temperatur, und beide erscheinen als Achsen in einem Renormierungs-Flussdiagramm. Es kann zusätzliche kritische Punkte und Crossover-Verhalten geben.
Danke für die Nachverfolgung. Sie nennen also die „Quantentemperatur“ L, wenn ich mich nicht irre. Enthält Lambda dann das, was Sie die "Stat-Mech-Temperatur" nennen? Oder gibt es zusätzlich zu diesen beiden Parametern, die mir fehlen?
Ja, das sind die gleichen Parameter, die ich in der Prämisse der Frage festgelegt habe. Aber ich suchte nach einem Einblick in die Auswirkungen dieser beiden „Temperaturen“. Das 2D-Ising-Modell hat nicht einmal eine geordnete Phase, wenn es endlich ist L , auch wenn die andere Richtung unendlich ist. Und in D größer als 2 gibt es einen Übergang zwischen zwei kritischen Punkten (einer für kleines L, der wie das D-1-Ising-Modell wirkt). Diese Dinge waren mir nicht klar, als ich die Frage schrieb.
Es gibt einige Verwirrung bei den Abmessungen. Zur Verdeutlichung vergiss die Kontinuumsgrenze und betrachte einfach die Transfermatrix. Stellen Sie sich das klassische Gitter vor L × M , was sollte die Dimension der Transfermatrix von Zeile zu Zeile sein?
Ops .. Ich habe nicht bemerkt, wie alt die Frage war

Antworten (1)

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich Ihre Frage verstehe, aber es sieht so aus, als ob die grundlegende Verwirrung darin besteht, welche Grenzen genau man bei dieser Zuordnung einnimmt und wie die Variablen neu skaliert werden. Ich folge fast der Behandlung von Sachdev am Anfang seines Buches Quantum Phase Transitions, aber angepasst an eine 2D-Ising-Kette und mit Ihren Variablen.

Okay, Ihre ursprünglichen Variablen sind also:

τ : Gitterabstand (in x und y)

N : Anzahl der Gitterplätze (in x und y)

β X : Kopplung in x dividiert durch T

β j Kopplung in y dividiert durch T

Jetzt werden Sie die Grenze wo nehmen τ → 0 , wie Sie sagten, und tun Sie dies auf eine bestimmte Weise. Speziell:

-Nehmen τ → 0 Und N → ∞ , so dass N τ = L (die Systemlänge) bleibt konstant.

-Nehmen τ → 0 Und β j → 0 , so dass β j / τ = E 0 , j bleibt konstant, wo E 0 , j ist die Grundzustandsenergie pro Längeneinheit entlang der y-Richtung. Machen Sie dasselbe mit β X Und E 0 , X .

-Nehmen ξ wie fest, wo ξ ist eine interessierende makroskopische Eigenschaft. Man kann zum Beispiel nehmen ξ = ( A / 2 ) e 2 β j , Wo ξ ist die Korrelationslänge (Sachdev leitet dies ab).

Dies läuft darauf hinaus, die großen Längenskalen (L und ξ ) konstant, während die mikroskopische τ geht auf null.

Das Spiel, das man spielt, besteht also darin, den Transfermatrixausdruck für die Partitionsfunktion rein in Bezug auf zu schreiben L , Die E 0 s, und λ , an welcher Stelle sie nicht durch die Annahme der thermodynamischen Grenze verändert wird. Sobald Sie dies getan haben, werden Sie feststellen, dass die Transfermatrix T eine Form wie folgt hat:

T = e τ H ' ( E 0 , X , E 0 , j , ξ )

Wo H ' eine Funktion der skalierten Parameter ist (die zum neuen Hamilton-Operator werden). Das bedeutet, dass der Ausdruck für die Partitionsfunktion wird:

Z = T R ( T N ) = T R ( e N τ H ' ) = T R ( e L H ' )

An diesem Punkt verwendet der Ausdruck für die Verteilungsfunktion vollständig die skalierten Variablen, und Sie können die thermodynamische Grenze nehmen, ohne ihre Form zu ändern.

An dieser Stelle, H ' = E 0 , X ∑ ich σ 1 ( ich ) σ 1 ( ich + 1 ) + ( 1 / 2 ξ ) σ 3 ( ich ) + E 0 , j . Dann kannst du den konstanten Term weglassen E 0 , j und kombinieren Sie die anderen beiden Terme zu einem Parameter λ um deinen Ausdruck zu bekommen.

So sieht es für mich so aus, als ob Sie vielleicht verwirrt waren N Und L , die ich hoffentlich nach der gleichen Konvention benannt habe wie Sie. N , die Anzahl der Gitterplätze, divergiert tatsächlich in dieser Grenze. Der Partitionsfunktionsausdruck verwendet jedoch L , die Systemlänge, die in dieser Grenze konstant bleibt. L spielt zwar die Rolle der inversen Temperatur des betreffenden Systems λ kann so etwas wie eine charakteristische Temperatur enthalten T C für einen Phasenübergang. Das bedeutet, dass die Phase des Systems bestimmt wird durch L λ , die einzige verfügbare Kombination von Parametern.

Danke für die Antwort. Dein L habe ich gerufen N In der Post werde ich es einfach nennen L jetzt mal zur klarheit. Ich verstehe voll und ganz, wenn L ist konstant und τ gegen Null geht, muss die Zahl der Gitterpunkte divergieren. Aber ich sehe nicht wo L in Ihre Ableitung der Form von eingegeben H ' . Das scheint durch Fixierung bestimmt zu sein ξ . Ihre Aussage am Ende ist im Wesentlichen meine Frage, wie es geht L die Rolle der inversen Temperatur spielen? Und sind Sie sich Ihrer Aussage sicher, dass die Kombination L λ bestimmt die Phase?
Hallo octonion, ich habe ein wenig in den Körper eingefügt, um explizit zu zeigen, wie L kommt rein, ich hoffe das hilft. Zu deiner letzten Frage, L Und λ sind die einzigen Parameter, die es gibt, also sehe ich keine mögliche Alternative.
Hallo Rococo, ich weiß die Zeit zu schätzen, die Sie für diese Antwort aufgewendet haben, und ich denke, sie könnte für einige Leser hilfreich sein. Ich bin mir des Verfahrens bewusst, um die Hamilton-Grenze zu nehmen. Als Referenz habe ich Mussardos Buch über statistische Feldtheorie und einen Aufsatz von Fradkin und Susskind Phys Rev D 17 (1978) 2637 gelesen. Es gibt ein Argument dafür λ = 1 ist der kritische Punkt, den ich in meiner Frage bearbeiten kann, wenn ich Zeit habe. Es ist möglich, dass ich dumm bin, also werde ich über Ihre Antwort nachdenken, aber im Moment scheint es, dass Sie meine Frage nicht treffen.
Ja, ich stimme zu, dass ich Ihre Frage möglicherweise falsch verstehe. Wenn dies der Fall ist, sollten Sie darüber nachdenken, wie Sie es umformulieren können, damit ich oder jemand anderes genau weiß, wonach Sie suchen.
Das heißt, für meine derzeitige Lektüre Ihrer beiden Fragen wäre meine Antwort jeweils in einem Satz: "Nein, wir bringen L nicht unbedingt ins Unendliche" und "Ja, bei dieser Abbildung wird die ursprüngliche Temperatur in die abgebildet Parameter im Hamiltonoperator, während die Systemlänge auf die Temperatur abgebildet wird. Wenn das den Punkt völlig zu verfehlen scheint, dann verstehe ich eindeutig nicht, wonach Sie suchen, und Sie müssen möglicherweise woanders suchen.
Temperatur in der Hamilton-Grenze
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