Fermion-Randbedingungen bei endlicher Temperatur

Zustandssummen erhält man durch Pfadintegrale entlang geschlossener Pfade. Bei Fermionen ergeben antiperiodische Randbedingungen die Spur und periodische Randbedingungen die Superspur:

$$\mathrm{Tr}e^{-T H} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = -\psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = -\bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

$$\mathrm{Str}e^{-TH} = \int_{\begin{Bmatrix}\psi(T) = \psi(0) \\ \bar{\psi}(T) = \bar{\psi}(0)\end{Bmatrix}} e^{\int_0^T \bar{\psi}\dot{\psi}+ H(\bar{\psi}, \psi)} \mathcal{D}\psi\mathcal{D}\bar{\psi}$$

Erläuterung:

Fermionische Pfadintegrale basieren auf den Grassmann-Symbolen von Operatoren:

$$A(\bar{\psi}_f, \psi_i) = \sum_{J,K=1}^N A_{JK} \bar{\psi}_f^J, \psi_i^K$$

Woher$J,K$sind Teilmengen von$\{ 1, ....., N\}$Beschreibung von Multi-Indizes und$|J|, |K|$bezeichnet die Anzahl der Elemente in der Menge$J$.$\psi^{J}$ist das antisymmetrische Produkt von$|J|$Grassmann-Variablen. Diese Symbole sind äquivalent zu$2^N \times 2^N$Matrizen und kann als Abbildung von einem anfänglichen Hilbert-Raum angesehen werden, der durch den Index gekennzeichnet ist$i$bis zum letzten Hilbert-Raum, der durch den Index gekennzeichnet ist$j$. Die Spur und die Superspur dieser Operatoren sind definiert durch:

$$\mathrm{Tr} A = \sum_J A_{JJ}$$

$$\mathrm{Str} A = \sum_J (-1)^{|J|} A_{JJ}$$

Die Spuren können durch Gauß-Grassmann-Integration des Operatorsymbols nach Gleichsetzen der anfänglichen und der endgültigen Grassmann-Variablen erhalten werden:

$$\mathrm{Tr} A = \int A(\bar{\psi}_f = -\bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i$$

$$\mathrm{Str} A = \int A(\bar{\psi}_f = \bar{\psi}_i, \psi_i) e^{-\bar{\psi}_i \psi_i} \Pi_{i=1}^N d\bar{\psi}_i d \psi_i$$

Der Grund dafür ist, dass im zweiten Fall immer dann ein zusätzliches Minuszeichen kommt, wenn die Anzahl der Grassmann-Variablen ungerade ist. Betrachten Sie zum Beispiel den zweidimensionalen Operator:

$A = A_{00} + A_{11}\bar{\psi}_f \psi_i$

Dann:

$\int A(-\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} -A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} + A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} + A_{11}$

Wobei der Vorzeichenwechsel im letzten Schritt auf den Wechsel in der Reihenfolge dazwischen zurückzuführen ist$\psi$und$\bar{\psi}$, Ähnlich

$\int A(\bar{\psi}, \psi) e^{-\bar{\psi} \psi}d\bar{\psi}d\psi = (A_{00} +A_{11}\bar{\psi} \psi) (1- \bar{\psi} \psi) d\bar{\psi}d\psi = - (A_{00} - A{11}) \int \bar{\psi} \psi d\bar{\psi}d\psi = A_{00} - A_{11}$

Die Frage wurde in John Rennies Kommentar zum OP beantwortet (ich würde auch kommentieren, aber ich habe nicht genug Repräsentanten dafür).

Ich möchte nur darauf aufmerksam machen, dass Sie das Pfadintegral über die Felder entweder mit periodischem (Bosonen) oder antiperiodischem (Fermionen) BC ausführen, ist eine reine Folge der Tatsache, dass Sie die Spur auswerten (bzw zu planen), um die Partitionsfunktion zu erhalten, und daher ist dies eine Zumutung. Siehe Gl. (2.17) von Kapustas Finite-Temperature Field Theory (Ausgabe 1989) für eine Offenbarung :)

Ich habe viele Gräueltaten darüber gelesen, als ich mich mit diesem Thema befasste (Dinge wie "Der Einfachheit halber wählen wir ...").

Wenn Sie eine alternative Demonstration zu der des verlinkten Dokuments in John Rennies Kommentar wünschen, versuchen Sie es mit Anhang A von Dashen et al. PRD 12, 2443–2458 (1975) . Achten Sie einfach darauf, dass sie alles im Minkowski-Raum tun.

ein anderer Ansatz, vielleicht eine Erklärung:

Erinnern Sie sich an den thermischen Durchschnitt$<\hat{A}>_\beta =\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}} \hat{A}$, (einstellen$\rm{Tr}~ e^{-\beta \hat{H}}=1$).

Nehmen

$$\hat{A}=T[\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)]=\theta(\tau_1-\tau_2)\hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.\tau_2)- \theta(\tau_2-\tau_1)\hat{\psi}(y,\tau_2)\hat{\psi}(x.\tau_1)$$ stellen $\hat{A}$zurück in die thermische Durchschnittsformel mit $\tau_2=0$und wir werden haben $$\rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1)\hat{\psi}(y.0) \\ = \rm{Tr} ~\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.0)e^{-\beta \hat{H}} \hat{\psi}(x,\tau_1) \\ = \rm{Tr} ~e^{-\beta \hat{H}}\hat{\psi}(y.\beta) \hat{\psi}(x,\tau_1)$$

Schreiben Sie das Obige in Pfadintegralform und denken Sie daran, dass die Einfügungen in Pfadintegrale automatisch geordnet werden.

$$\int [d\psi]e^{-S} \psi(x,\tau_1)\psi(y.0)=\int [d\psi]e^{-S} \psi(y.\beta) \psi(x,\tau_1)$$ Obwohl wir die Randbedingung des Pfadintegrals nicht kennen, können wir darauf schließen $\psi(y,0)=-\psi(y,\beta)$.

Sie mögen denken, wie$\beta$proportional zu a$2\pi$Winkel$\theta$. Die Verbindung zwischen den Spinorfeldern$\psi(0)$und$\psi(\beta)$, sollte dann als die Verbindung zwischen analysiert werden$\psi(\theta=0)$und$\psi(\theta=2\pi)$. Der Winkel$\theta$könnte als "Raumdrehung" des Winkels betrachtet werden$\theta$für das Feld$\psi$. Nun wissen wir, dass Spinoren nach einer Rotation von$2 \pi$, erhalten Sie ein Minuszeichen. Daraus schließen wir, dass die richtige Grenzbedingung ist$\psi(\beta) = -\psi(0)$

Strenger, aber äquivalent, können wir uns eine kompakte räumliche Koordinate wo vorstellen$x=0$identifiziert sich mit$x =\beta$. Ein geschlossener Pfad aus$x=0$zu$x=\beta$, entspricht a$2\pi$"Raumrotation".

Eine algebraische Erklärung. Das fermionische Wegintegral basiert auf einer Darstellung der Operatoren$a$und$a^{\dagger}$in Form einer Grassmann-Variablen$\alpha$nach$a\rightarrow\alpha$und$a^{\dagger}\rightarrow\partial_{\alpha}.$Die Wellenfunktion$\psi\left(\alpha\right)=c_{0}\alpha+c_{1}$ist eine Funktion von$\alpha$.

Die allgemeinste lineare Transformation von der Teilchenzahldarstellung zur$\alpha$Vertretung ist$\psi\left(\alpha\right)=\sum_{n=0}^{1}U_{\alpha,n}c_{n},$dh sie kann formal als Matrix geschrieben werden$U$mit einer Grassmann-Variablen als Index und einem diskreten Index. Das scheint kompliziert, aber$U_{\alpha,n}=\alpha x_{n}+y_{n}$kann erweitert werden$\alpha$und wird durch die vier reellen oder komplexen Zahlen bestimmt$x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}.$Um herauszufinden, wie die Spur einer Matrix$W_{m,n}$sieht aus wie in der$\alpha$Darstellung das Gegenteil$V_{n,\alpha}=\alpha p_{n}+q_{n}$der Matrix$U$wird gebraucht. Wir verlangen also

$$\sum_{n}U_{\alpha,n}V_{n,\beta}=\sum_{n}\left(\alpha\beta x_{n}p_{n}+\alpha x_{n}q_{n}+\beta y_{n}p_{n}+y_{n}q_{n}\right)=\beta-\alpha=\delta\left(\alpha-\beta\right).$$

Die$O\left(\alpha\beta\right)$,$O\left(\alpha\right)$,$O\left(\beta\right)$und$O\left(1\right)$Terme bestimmen die vier Koeffizienten$p_{0},p_{1},q_{0},q_{1}$von$V$. Das Ergebnis ist$p_{n}=\left(\lambda x_{1},-\lambda x_{0}\right)$und$q_{n}=\left(\lambda y_{1},-\lambda y_{0}\right)$mit$\lambda=1/\left(x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}\right).$

Um die Spur zu erhalten, benötigt man auch die Vollständigkeitsrelation in der Teilchenzahldarstellung, die die Form annimmt

$$\int\mathrm{d}\alpha V_{m,\alpha}U_{-\alpha,n}=\int\mathrm{d}\alpha\left(\alpha p_{m}+q_{m}\right)\left(-\alpha x_{n}+y_{n}\right)=p_{m}y_{n}-q_{m}x_{n}=\delta_{m,n}.$$

Auch diese Gleichung ist im Wesentlichen rein algebraisch und damit leicht zu verifizieren$\int\mathrm{d}\alpha=\partial_{\alpha}$und die explizite Lösung für$p$und$q$. Überprüfen Sie einfach die Fälle$mn\in\left\{ 00,01,10,11\right\}$. Wichtig ist das Minuszeichen.

Um den Ausdruck für die Ablaufverfolgung zu erhalten, fügen Sie Folgendes ein$\delta_{m,n}$hinein

$$\sum_{m,n}\delta_{m,n}W_{n,m}=\int\mathrm{d}\alpha\sum_{mn}U_{-\alpha,n}W_{nm}V_{m,\alpha}=\int\mathrm{d}\alpha W_{-\alpha,\alpha}.$$