Grenze der Fermi-Dirac-Verteilung, wenn TTT gegen Null geht

Question

Grenze der Fermi-Dirac-Verteilung, wenn TTT gegen Null geht

Physik
Fermionen
Temperatur
Fermi-Energie
Chemisches Potential
Statistische Mechanik

Rasmus Gross Søgaard

Hoffentlich ist das eine einfache Frage, ich komme einfach nicht weiter.

Ich soll den Grenzwert der Fermi-Dirac-Verteilung für nehmen $T \rightarrow 0$ .

In diesem Grenzfall ist das chemische Potential gleich der Fermi-Energie $\mu = \epsilon_F$ , und alle Energiezustände unterhalb der Fermi-Energie sind besetzt, während alle Zustände darüber leer sind.

Nach diesem Argument würde ich sagen, dass die Fermi-Dirac-Verteilung zu einer Treppenfunktion mit Argument tendiert $\epsilon_F - \epsilon$ , so dass

F \to Θ (ϵ_{F} - ϵ) für T \to 0,

$f \rightarrow \Theta(\epsilon_F - \epsilon) \quad \text{for} \quad T \rightarrow 0,$ das ist einer für

ϵ < ϵ_{F}

$\epsilon < \epsilon_F$ und Null für

ϵ > ϵ_{F}

$\epsilon > \epsilon_F$ .

Mein Problem ist, dass ich die Ergebnisse in einem Lehrbuch und einigen anderen Fällen gefunden habe, in denen es so angegeben ist

F \to Θ (ϵ - ϵ_{F}) für T \to 0.

$f \rightarrow \Theta(\epsilon - \epsilon_F) \quad \text{for} \quad T \rightarrow 0.$

Kann mir jemand sagen, welches Ergebnis richtig ist und vielleicht erklären, warum das zweite Ergebnis richtig ist, wenn es so ist.

Olaf

In welchem Lehrbuch hast du es gefunden? Dein Ausdruck ist übrigens richtig.

Rasmus Gross Søgaard

Danke. Ich glaube, ich habe es in Quantum Theory of the Electron Liquid von Giuliani & Vignale gefunden und danach an mindestens 1 oder 2 Stellen im Internet (Physikforen) genauso angegeben, aber ich bin mir nicht 100% sicher. Ich werde das nachsehen, wenn ich nach Weihnachten zurückkomme. So oder so, wenn Sie beide meiner Intuition zustimmen, bleibe ich dabei.

Antworten (1)

Grenze der Fermi-Dirac-Verteilung, wenn TTT gegen Null geht

In welchem Lehrbuch hast du es gefunden? Dein Ausdruck ist übrigens richtig.
Danke. Ich glaube, ich habe es in Quantum Theory of the Electron Liquid von Giuliani & Vignale gefunden und danach an mindestens 1 oder 2 Stellen im Internet (Physikforen) genauso angegeben, aber ich bin mir nicht 100% sicher. Ich werde das nachsehen, wenn ich nach Weihnachten zurückkomme. So oder so, wenn Sie beide meiner Intuition zustimmen, bleibe ich dabei.

QMechaniker · Answer 1

Wenn wir die Möglichkeit einer negativen Temperatur vernachlässigen , hat OP recht:

Die Fermi-Dirac-Verteilung

F_{F D} (ϵ) ⟶ Θ (ϵ_{F} - ϵ) für T ⟶ 0^{+},

$f_{FD}(\epsilon) ~\longrightarrow ~\Theta(\epsilon_F - \epsilon) \qquad \text{for}\qquad T ~\longrightarrow ~0^{+},$

Wo $\Theta$ ist die Heaviside-Schrittfunktion .

Grenze der Fermi-Dirac-Verteilung, wenn TTT gegen Null geht

Rasmus Gross Søgaard

Olaf

Rasmus Gross Søgaard

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