Fermi-Dirac-Verteilung in der Hochtemperaturgrenze

Ich lese "Elektronischer Transport in mesoskopischen Systemen" von Supriyo Datta und bin ein wenig verwirrt von seiner Diskussion der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion, die gegeben ist durch:

F ( E ) = 1 exp ⁡ [ E − E F k B T ] + 1 ,

Wo E ist die Energie eines Zustands, T ist Temperatur, E F ist die Fermi-Energie (der höchste besetzte Zustand bei T = 0 ) Und k B ist die Boltzmann-Konstante.

Der Autor behauptet, dass in der "...hohen Temperatur oder der nicht entarteten Grenze ( exp ⁡ [ E − E F ] / k B T ≫ 1 ) " Es hat die folgende einfache Form:

F ( E ) ≈ exp ⁡ [ − ( E − E F ) / k B T ] .

Frage : Ich stimme zu, dass dies das Ergebnis ist, wenn das Exponential den Nenner dominiert, aber gibt es eine Rechtfertigung dafür, es eine Hochtemperaturgrenze zu nennen ?

In der Tat würde ich denken, dass es sinnvoll wäre, das zu sagen, wenn die Temperatur hoch ist E − E F k B T ≪ 1 in diesem Fall dominiert die Exponentialfunktion überhaupt nicht den Nenner!

Ich würde es als Tippfehler abtun, aber wenn ich mir ein Diagramm der Fermi-Dirac-Verteilungen für verschiedene Temperaturen ansehe, scheint es, dass sie die Form einer exponentiell abfallenden Funktion annehmen, wenn die Temperatur hoch ist:

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Antworten (1)

Wenn Sie sich nicht in der unteren Temperaturgrenze befinden, sollte die FD-Verteilung geschrieben werden als

F ( E ) = [ exp ⁡ ( E − μ ) / k T + 1 ] − 1 ,
Wo μ ist das chemische Potential.

Ich denke, was Sie vermissen, ist, dass das chemische Potential keine Konstante ist, sondern temperaturabhängig ist. Bei hohen Temperaturen also μ < 0 Und exp ⁡ ( − μ / k T ) ≫ 1 . Sie können sich diese Antwort auf eine andere Frage ansehen , um zu erklären, warum das so ist.

Daher

[ exp ⁡ ( E − μ ) / k T + 1 ] − 1 ≃ [ exp ⁡ ( − μ / k T ) exp ⁡ ( E / k T ) ] − 1 = exp ⁡ ( μ / k T ) exp ⁡ ( − E / k T )
das ist die Boltzmann-Verteilung und ist ≪ 1 für alle E .

Ok danke für deine Antwort. Dieser Unterschied zwischen chemischem Potential und Fermi-Energie war mir bekannt, aber ich folgte dem Autor des Lehrbuchs ziemlich naiv. Nur eine Anmerkung, dass Ihre Antwort unvollständig ist, ohne den Link zu einer anderen von Ihnen bereitgestellten Frage zu lesen. Es reicht nicht für μ < 0 geben exp ⁡ ( − μ / k T ) ≫ 1 , benötigen wir auch | μ | >> k T um das gewünschte Verhalten zu erreichen. Nochmals: Es steht im Link, aber vielleicht würden Sie so freundlich sein, diesen einen Satz an Ihre Antwort für zukünftige Leser anzuhängen, es würde ihnen die Sache erleichtern. Vielen Dank für die Antwort!
@Lachy Deshalb habe ich gesagt " μ < 0 Und exp ⁡ ( − μ / k T ) ≫ 1 .
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