Der Versuch, intuitiv zu verstehen, wie Temperatur mit Entropie zusammenhängt

Question

Der Versuch, intuitiv zu verstehen, wie Temperatur mit Entropie zusammenhängt

mihirb

Hintergrund

Ich habe mich mit der Definition von Temperatur und ihrer Beziehung zu Entropie und innerer Energie befasst und bin auf StackExchange auf diese Antwort gestoßen .

Laut Antwort:

[Temperatur ist] die differentielle Beziehung zwischen innerer Energie und Entropie:
$\begin{aligned} D U & = T D S + \dots \\ \frac{\partial S}{\partial U} & = \frac{1}{T} \end{aligned}$ $\begin{align} dU &= T\,dS + \cdots \\ \frac{\partial S}{\partial U} &= \frac 1T \end{align}$ Wenn einem System Energie zugeführt wird, ändert sich seine interne Entropie.

Dies bedeutet, dass eine niedrige Temperatur eine bestimmte Änderung der inneren Energie bedeutet $U$ führt zu einer großen Entropieänderung $S$ eines Systems und dass eine hohe Temperatur bedeutet, dass eine gegebene Änderung der inneren Energie zu einer kleinen Änderung der Entropie eines Systems führt.

Nun ist die Entropie im Wesentlichen ein Maß für die Anzahl der Zustände eines Systems (was zum Beispiel eine Kiste mit Gasmolekülen die Größe der Menge möglicher Positionen und Geschwindigkeiten für alle Gasmoleküle wäre). Für ein Gas mit niedriger Temperatur ist die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Geschwindigkeit weniger gespreizt als die Verteilung für dasselbe Gas mit hoher Temperatur, wie in diesem Bild gezeigt:

Da die Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung misst, wie viele Zustände es gibt, gehe ich davon aus, dass eine weiter verbreitete Verteilung eine höhere Entropie hätte, da es mehr Zustände gibt, weil sich die Verteilung über eine größere Anzahl von Zuständen erstreckt.

Gemäß der Definition der Temperatur in der Antwort bedeutet dies nun, dass eine bestimmte Änderung der inneren Energie der Niedertemperatur-Gasbox zu einer größeren Änderung der Ausbreitung der Geschwindigkeitsverteilung (Entropie) führen würde als die gleiche Änderung der inneren Energie würde auf die Ausbreitung (Entropie) der Geschwindigkeitsverteilung des Hochtemperatur-Gaskastens.

Die Frage

Interpretiere ich richtig, was ein großes gegen ein kleines ist? $\partial S / \partial U$ (Klein gegen Groß $T$ ) in Bezug auf die statistischen Verteilungen darstellt (insbesondere ist meine Interpretation der Entropie korrekt)? Wenn nicht, wie kann ich mir die Entropie der Maxwell-Boltzmann-Verteilung in Bezug auf den Graphen der Verteilung vorstellen?

Ob ich richtig liege oder nicht, gibt es eine Intuition dahinter, warum die Streuung (Entropie) einer Niedertemperaturverteilung stärker von einer Änderung der inneren Energie beeinflusst wird als die Streuung (Entropie) einer Hochtemperaturverteilung?

Zusammenfassend frage ich:

Warum macht es Sinn, dass niedrige Temperaturen mit hohen korrespondieren? $\partial S / \partial U$ und hohe Temperaturen entsprechen einem Tief $\partial S / \partial U$ und gibt es eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, indem man sich die Form der Maxwell-Boltzmann-Verteilung im Fall einer Gaskiste ansieht?

Antworten (2)

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xzkxyz · Answer 1

Entropie ist nicht wirklich das Maß für die Anzahl der Zustände. Stellen Sie sich einen Würfel vor, der nur Zahlen würfelt $1$ Und $2$ . Es hat $6$ Gesichter, sicher, aber die anderen $4$ sind unmöglich. Wie unterscheidet sich dieser Würfel von einer Münze? Was wäre, wenn die Wahrscheinlichkeit des anderen $4$ Gesichter sind ungleich Null, aber sehr klein (sagen wir, $0.00001$ %), wäre die Entropie nicht immer noch sehr ähnlich einer Münze?

Um auf Ihre Frage zu beziehen, bei niedrig $T$ , Sie haben die gleiche Anzahl von Zuständen, aber nur sehr wenige sind zugänglich. Die Entropie eines Systems mit sehr wenigen möglichen Zuständen, etwa einer Münze, ist klein. Nehmen wir jetzt sehr, sehr hohe Temperaturen. Um dies zu modellieren, werden wir sagen, dass Partikel über einen weiten Bereich von Geschwindigkeiten verteilt sind und die Verteilung ziemlich flach (gleichmäßig) ist, wir können sie uns als eine gleichmäßige Verteilung mit vielen möglichen Zuständen vorstellen. Eine breitere Verteilung ist in der Tat eine höhere Entropie. Wenn Sie auf eine noch höhere Temperatur gehen, breitet es sich nur ein wenig mehr aus, während Sie von fast abgehen $0$ bei einer etwas höheren Temperatur breitet es sich stark aus.

Um dies zu sehen, können Sie sich die Definition der Entropie ansehen, $𝑆=−\sum p\ln p$ . Für gleichmäßige Verteilungen alle $p$ sind identisch und gleich $1/N$ . Daher, $S = -\ln(1/𝑁)= \ln(N)$ , also ist die Ableitung in Bezug auf die Größe so etwas wie $1/N$ . Wenn Sie sehr wenige "zugängliche" Zustände haben, ist die Ableitung groß, und wenn Sie viele haben, ist die Ableitung klein. Die Anzahl der zugänglichen Zustände $N$ ist proportional zur Energie, und daher ist diese Ableitung wie die Steigung, die der inversen Temperatur entspricht $1/T$ .

Können Sie mehr darüber erklären, warum, wenn die Temperatur bereits hoch ist, eine noch höhere Temperatur die Verteilung nur ein wenig ausbreitet, während sie bei einer niedrigen Temperatur stark ausgebreitet wird?
Sie können sich die Definition von Entropie ansehen, $S = -\Sigma p\ln p$ . Für gleichmäßige Verteilungen alle $p$ sind identisch und gleich 1/N. Daher, $S = -ln(1/N) = ln(N)$ , also ist die Ableitung in Bezug auf die Größe so etwas wie $1/N$ . Wenn Sie sehr wenige "zugängliche" Zustände haben, ist die Ableitung groß, und wenn Sie viele haben, ist die Ableitung klein. Die Anzahl der zugänglichen Zustände $N$ ist proportional zur Energie, und daher ist diese Ableitung wie die Steigung, die der inversen Temperatur entspricht.
Ich verstehe. Bei niedriger innerer Energie/Temperatur gibt es also weniger zugängliche Zustände, was bedeutet $N$ niedrig ist, bedeutet dies die Ableitung von $S$ was gleich ist $1/N$ ist groß. Diese Ableitung ist im Grunde die inverse Temperatur $1/T$ was bedeutet, dass eine größere Ableitung einer niedrigeren Temperatur entspricht. Zusammengefasst: geringe innere Energie <==> weniger zugängliche Zustände <==> niedrige Temperatur. Ist dies eine korrekte Interpretation?

Vercassivelaunos · Answer 2

Denken Sie daran, dass die Entropie der Logarithmus der Anzahl der Zustände ist. Der Übergang von einem möglichen Zustand zu zehn führt zu demselben Anstieg der Entropie wie der Übergang von zehn zu hundert. Nehmen Sie an, völlig falsch, aber nur um den Punkt zu veranschaulichen, dass die Erhöhung der Energie um einen festen Betrag dazu führt, dass eine feste Menge möglicher Zustände hinzugefügt wird. Dann würde die Entropie nur mit dem Logarithmus der Energie zunehmen, also $\partial S/\partial U\sim 1/U$ , und somit wäre die Temperatur proportional zu $U$ .

Im Allgemeinen bedeutet hohe Energie hohe Temperatur, wenn die Anzahl der möglichen Zustände (oder die Ausbreitung der Verteilung, wenn Sie wollen) langsamer als exponentiell mit der Energie wächst.

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mihirb

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xzkxyz

mihirb

xzkxyz

mihirb

Vercassivelaunos

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