Wie nimmt der Informationsmangel mit steigender Temperatur zu?

Sehen Sie sich Ihre Boltzman-Verteilung an.

Bei unendlicher Temperatur haben alle Zustände die gleiche Wahrscheinlichkeit und Sie haben "minimale Informationen".

Bei absolut 0 sind unter der Annahme, dass der Grundzustand ein Kristall ist, keine Informationen im Zustand codiert, sodass es keinen Mangel an Informationen über den Zustand gibt.

Wenn wir das System aufheizen, nimmt die Menge der im Zustand codierten Informationen (in Bezug auf die Positionen und Bewegungen aller Atome im Material) zu. Aber wir erfahren kaum etwas von diesen Informationen. Daher nimmt unser Mangel an Informationen zu, nicht weil wir irgendetwas vergessen, sondern weil mehr Informationen im System fehlen.

Woher kommen diese zusätzlichen Informationen? Von der Art und Weise, wie wir das System aufheizen. Angenommen, wir strahlen Mikrowellen darauf. Wir wissen nicht, mit welchen Atomen die Mikrowellen interagieren, also kennen wir die resultierende Bewegung der Atome nicht.

Die Entropie steigt also mit steigender Temperatur.

Intuitiv: Bei Nulltemperatur gibt es keine thermische Energie, also ist nur ein Zustand zugänglich – der Grundzustand (der Boden der Energielandschaft). Ihnen fehlt also keine Information, in welcher Konfiguration sich das System befinden könnte – Sie wissen sicher, dass es sich im Grundzustand befindet. Wenn Sie thermische Energie hinzufügen, werden immer mehr Zustände energetisch zugänglich, sodass es mehr mögliche Konfigurationen gibt, in denen sich das System befinden könnte. Die Menge an Informationen im System, die Sie nicht kennen (nur weil Sie die Temperatur kennen), nimmt also zu . Anstatt am unteren Rand der Energielandschaft herumzuhängen, könnte das System aufgrund seiner inneren thermischen Energie auch höher zu finden sein.

Stellen wir uns ein System vor$\mathcal{S}$an ein großes Wärmebad gekoppelt$\mathcal{E}$, die Umgebung.

Als$\mathcal{S}$Interagiert mit$\mathcal{E}$, bauen sich Korrelationen zwischen diesen Subsystemen auf. Informationen über den Zustand des Systems werden vermehrt in$\mathcal{E}$in Form dieser Korrelationen. Um diese Informationen zu speichern, müssten wir große Teile der Umgebung messen.

Da wir dazu nicht in der Lage sind, steigt unsere Unsicherheit über den Zustand des Systems. Vielleicht wäre eine Möglichkeit, dies zu quantifizieren, tatsächlich, den thermischen Zustand für die Umgebung und einen reinen Zustand (perfekte Information) zu berücksichtigen. Die allgemeine zeitliche Entwicklung der gesamten Dichtematrix würde dann zur Entstehung eines gemischten Zustands führen, wenn man die Umgebungszustände (mittels) nachzeichnet.

Die Geschwindigkeit, mit der dies geschieht, hängt von der Bad-Bad-Korrelationszeit ab, die wiederum von der Temperatur abhängt.

Meine zweite Antwort, die wahrscheinlich nicht das ist, wonach Sie suchen, aber nur für den Fall:

Ich habe gerade festgestellt, dass Sie vielleicht nach einem mathematisch strengen Beweis suchen, dass die Entropie der thermischen Verteilung:

Lemma 1
Für eine gegebene mittlere Energie$E_\mathrm{ave} = \sum_i p_i E_i$, die Wärmeverteilung mit Energie$E_\mathrm{ave}$maximiert die Entropie über alle Verteilungen mit dieser Energie.

Beweisskizze:
Verwenden Sie Lagrange-Multiplikatoren.

Lemma 2
Für die Wärmeverteilung bei beliebiger Energie$E_\mathrm{ave}$mit$0 < \beta < \infty$, finden Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit etwas höherer durchschnittlicher Energie$E_\mathrm{ave}+\,\epsilon$und größere Entropie.

Beweisskizze:
Finde zwei Energien$E_j < E_k$und bewegen einige Wahrscheinlichkeit Masse aus$p_j$Zu$p_k$.

Lemma 3
Wenn wir die Temperatur erhöhen$\beta^{-1}$, erhöhen wir die durchschnittliche Energie.

Beweisskizze:
Zeigen Sie das für zwei beliebige positive Temperaturen$\beta^{-1} < {\tilde{\beta}}^{-1}$, es gibt eine Energie$E_m$so dass in den thermischen Verteilungen, wenn$E_i < E_m$, Dann$p_i > \tilde{p}_i$und wenn$E_i>E_m$, Dann$p_i < \tilde{p}_i$.

Dies kann durch einfache Rechnung gezeigt werden.

Jetzt können wir den Satz beweisen. Beginnen Sie mit durchschnittlicher Energie$E_1$. Durch Lemma 2 können wir die mittlere Energie auf erhöhen$E_2 = E_1+\epsilon\,$und finde eine Verteilung mit höherer Energie. Aber die thermische Verteilung bei mittlerer Energie$E_2$hat eine höhere Entropie als diese Verteilung nach Lemma 1. Somit haben wir sowohl die Energie als auch die Energie der thermischen Verteilung erhöht. Aber nach Lemma 3 die thermische Verteilung bei mittlerer Energie$E_2$hat auch eine höhere Temperatur.