Angetriebener harmonischer Oszillator mit thermischer Langevin-Kraft. Wie extrahiert man die Temperatur aus x(t)x(t)x(t)?

Angenommen, Sie haben einen harmonischen Oszillator (Parameter: Masse, Gamma, Omega0) durch eine deterministische Kraft Fdrive (z. B. eine Sinuswelle) angetrieben. Angenommen, Sie addieren die stochastische Langevin-Kraft FL, die mit der Badtemperatur T zusammenhängt.

Die Frage ist, wie man die Information über die Temperatur T gewinnt, indem man die Zeitspur von x(t) betrachtet, indem man sie für eine Zeit betrachtet, die VIEL KLEINER ALS 1/Gamma ist.

Sie können also nur x(t) als Bruchteil von 1/Gamma betrachten und möchten die Temperatur des Bades wissen. Sie kennen bereits Omega0, Gamma und Masse.

Ich denke, es ist möglich, aber ich kann es nicht beweisen.

NB: omega0 ist die Resonanzfrequenz des Oszillators gamma ist die Dämpfungsrate FL ist definiert als =2gammakBTdeltadirac(t2-t1) und =0

Schauen Sie sich vielleicht die Partikeldiffusivität an D , die sich i) auf die Positionsabweichung beziehen sollte X 2 ¯ = 2 D T , und ii) proportional zur Temperatur, D ∼ k B T . Siehe zum Beispiel web2.clarkson.edu/projects/crcd/me537/downloads/2_Brownian.pdf
Auf einen 2. Gedanken X 2 ¯ = 2 D T im Großen und Ganzen T , aber man konnte sich trotzdem anschauen X 2 ¯ ( T ) und seine Derivate auch auf kürzeren Zeitskalen. Die Proportionalität zur Temperatur über die Langevin-Kraftintensität sollte noch vorhanden sein.

Antworten (1)

Nehmen

M D 2 X D T 2 = − k X − γ v + F ( T ) + η
und schreibe dies als
D X T = A X T D T + F T D T + σ D W T
Wo X T = ( X , v ) T , A = ( 0 1 − k M − γ M ) , F T = ( 0 , F ( T ) ) T , σ = ( 0 , 2 γ k B T / M ) T .

Lösen Sie dies, wie üblich,

X T = e T A X 0 + ∫ 0 T e − ( S − T ) A F S D S + ∫ 0 T e − ( S − T ) A σ D W S

Die allgemeine Lösung hier ist dank der Exponentialmatrix etwas chaotisch, aber wenn Sie festlegen k = 0 das alles vereinfacht enorm und man gewinnt den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess zurück.

Jetzt habe ich dafür keinen Beweis (ich vermute, dass zumindest unter typischen Bedingungen der integrierte Prozess ∫ 0 T ∫ 0 T ' F ( S , T ' ) D W S D T ' hat eine geringere Varianz als ∫ 0 T F ( S , T ) D W S , was meiner Meinung nach der Aussage entspricht ( F ( S , T ) ) 2 > ( ∫ S T F ( S , T ' ) D T ' ) 2 ), aber beim Testen mit Simulationen schien es ziemlich schwierig zu sein, die Temperatur aus der Varianz von wiederzugewinnen X T : Ich habe berechnet X T + Δ T gegeben X T unter Verwendung der obigen Formel, nahm dann die Varianz der Differenz der so vorhergesagten X T + Δ T gegen die tatsächliche X T + Δ T . Dies hinterließ immer noch einen Restterm aufgrund der äußeren Kraft, vielleicht aufgrund numerischen Rauschens (in dem Sinne, dass Euler-Maruyama, die von mir verwendete Methode, numerisch gesehen nicht mit der Art und Weise übereinstimmt, wie ich die Integrale genau genug berechnet habe). Dies ist alles, um zu sagen, dass dieser Ansatz ziemlich empfindlich gegenüber Rauschen ist. Es funktionierte jedoch viel besser für die Geschwindigkeit (wiederum, da seine Varianz größer ist),

Var ⁡ ( v T + Δ T − v T ) = ∫ 0 Δ T ( ( 0 , 1 ) e − ( S − Δ T ) A σ ) 2 D S

was, wie Sie sehen können, linear davon abhängt T .

Wenn Sie dafür keinen sehr automatisierten Prozess benötigen, können Sie die Reste wahrscheinlich auch manuell beseitigen.

Danke für deine Antwort. Können Sie den letzten Schritt erklären? Es scheint, dass Var von Deltat abweicht. Es ist normal?
Kann man das nicht auf die Langevin-Art machen, dh die Bewegungsgleichung im Frequenzbereich schreiben und auflösen? ⟨ X 2 ⟩ ?
@alarge Ja, nach meinen Simulationen sind Ihre Abweichungen sehr empfindlich gegenüber Rauschen. Es scheint, dass es kein kostenloses Mittagessen gibt, wenn Sie die Energie des Oszillators (thermische Energie) wissen wollen, müssen Sie warten .... In der Tat, wenn Sie sich das Spektrum von <x²> ansehen, werden Sie einen Lorentzian der Breite sehen
γ
bei Frequenz
ω 0
. Wenn Sie diesen Lorentzian auflösen möchten, müssen Sie mindestens ein paar \gamma warten. Das Integral unter Ihrem Lorentzian gibt Ihnen mit Sicherheit die Temperatur. Der Kern meiner Frage war: „Können Sie es sich leisten, nicht ein paar zu warten
γ
. Scheint nicht, aber warum...
@pierebean Kannst du einige spezifische Werte der Variablen hinzufügen und ich werde sehen, ob ich beim Ableiten der Temperatur mehr Glück habe?
omega0=2*pi*1e9; gammaM=2*pi*1e9/1e3; (Q-Faktor 1000) meff = 9.025e-15; k=omega0^2*meff; Deltat=0,0001*gammaM;
@pierebean Ich denke, die Schwierigkeit bei der Schätzung könnte darauf zurückzuführen sein, dass der Zustand unvollständig ist, wenn wir nur die Positionsinformationen des Partikels erhalten. Wenn ich keine Proben aus dem simulierten Pfad (den ich mit Euler erzeuge) fallen lassen würde, ist die Rekonstruktion der Geschwindigkeit perfekt und die Temperaturvorhersage liegt innerhalb weniger Prozentpunkte oder so. Wenn ich jedoch dichter simuliere als ich abtaste, kann ich nicht mehr den vollen Zustand erhalten und die var wird um etwa 30 % abfallen. Ich denke, wir könnten es besser machen, wenn wir etwas Klügeres als ein direktes Diff verwenden würden.
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