Unterschied zwischen "Zufallsbewegung" und "Brownsche Bewegung"?

Die Brownsche Bewegung hat eine sehr spezifische Bedeutung: die Bewegung kleiner Partikel, die in einer Flüssigkeit suspendiert sind. Die Bewegung ist auf die zufälligen Kollisionen zwischen den Flüssigkeitsmolekülen und den in Suspension befindlichen Partikeln zurückzuführen. Die Brownsche Bewegung bezieht sich also nicht auf die thermische Bewegung der Moleküle, sondern ist ein Effekt dieser molekularen Bewegung auf Teilchen, die viel größer als ein Molekül sind. Die Partikel müssen jedoch klein genug sein, damit die Auswirkungen von Kollisionen mit vielen Molekülen nicht zu Null (oder zu kleinen Werten für Materie) gemittelt werden. Sowohl die Molekularbewegung als auch die Brownsche Bewegung können als "zufällig" (oder nicht) bezeichnet werden, abhängig von der Bedeutung, die wir mit diesem Konzept der "Zufälligkeit" verbinden. Kennt man im Idealfall die Positionen und Geschwindigkeiten aller Moleküle zu einem bestimmten Zeitpunkt,
Aber wenn Sie thermische Bewegung als Beispiel für zufällige Bewegung betrachten, dann ist die Brownsche Bewegung ein spezifischeres Beispiel für den allgemeinen Begriff "zufällige Bewegung".

Zufällige Bewegung ist ein allgemeiner Begriff, der verwendet werden kann, um anzuzeigen, dass die Bewegung oder das Verhalten eines bestimmten Systems nicht deterministisch ist, das heißt, es gibt ein Element des Zufalls beim Übergang von einem Zustand in einen anderen, im Gegensatz zu beispielsweise dem klassischen harmonischer Oszillator.

Andererseits kann man sich die Brownsche Bewegung als eine spezifischere Bedingung für die zufällige Bewegung vorstellen, die das System aufweist, nämlich dass sie durch einen Wiener-Stochastik-Prozess beschrieben wird , der durch Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Kalkül streng gemacht wird.

Eines der Schlüsselmerkmale ist, dass eine zufällige zeitabhängige Variable gegeben ist$X(t)$, und eine Reihe von Zeiten$t_1, t_2$und so weiter, an dem wir messen$x_1, x_2 \dots, x_n$, gibt es einen Satz gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilungen,

die das System beschreiben. In der Physik haben wir es (meistens) mit trennbaren Prozessen zu tun, die

was soll das heißen$X(t)$ist völlig unabhängig von dem, was in der Vergangenheit oder Zukunft passiert. (Bei einem Markov-Prozess bestimmt nur die Gegenwart die Zukunft.) Um dies auf etwas zu beziehen, mit dem Sie vielleicht besser vertraut sind, wenn$p$unabhängig davon waren$t$, könnten Sie Bernoulli-Versuche haben, wie das Werfen von Münzen, bei denen die gleichen Wahrscheinlichkeitsgesetze das Verhalten zu allen Zeiten beschreiben.

Der springende Punkt ist$X(t)$kann zu keinem Zeitpunkt definitiv bekannt sein$t$, aber indem wir entscheiden, um welche Art von Prozess es sich handelt, oder indem wir bestimmte Annahmen treffen, können wir wahrscheinlichkeitstheoretische Aussagen über Beobachtungsgrößen machen. Beispielsweise lautet die Langevin-Gleichung für eine Masse in einem Rauschen ausgesetzten Medium:

Wo$\vec{f}(t)$ist das zufällige Rauschen, und$V$ist ein Potenzial. Im Fall von$m = 0$Und$V=0$der Einfachheit halber, obwohl wir nicht deterministisch schreiben können$\vec{x}(t)$, es kann (unter Annahmen) gezeigt werden,

das heißt, wir können die Varianz der Position basierend auf Korrelationsfunktionen des Rauschens kommentieren. Nehmen wir eine Deltaverteilung für an$\langle f_1 \cdot f_2 \rangle$, das Rauschen ist weißes Rauschen, und$\vec{x}(t)$ist das, was wir Brownsche Bewegung nennen, mit einem quadratischen Mittelabstand, der als geht$\sqrt{t}$.

Das bedeutet nicht$\vec{x}(t)$ist nicht zufällig, es bedeutet einfach, dass wir kommentieren können, wie sich statistische Eigenschaften des Systems mit der Zeit entwickeln.

Zusätzliche Ressourcen

Das Handbuch der stochastischen Methoden bietet eine lesbare Einführung in die stochastische Analysis mit Anwendungen auf physikalische Probleme.

Wenn Sie sehen möchten, wie dies auf etwas weniger „Mainstream“ angewendet werden kann, ist The Theory of Polymer Dynamics von Doi und Edwards ein ausgezeichneter und gründlicher Text, in dem unter anderem einige dieser Methoden zum Studium der Dynamik verwendet werden von Polymeren. (Überhaupt keine Chemie- oder Biologiekenntnisse erforderlich.)

Ich weiß, dass "zufällige Bewegung" eine nicht deterministische, unvorhersehbare Bewegung eines Teilchens ist.

Zufällige Bewegung bezieht sich auf die Bewegung eines beliebigen Objekts und verwendet die Definition des Wortes zufällig, wie es in der gewöhnlichen Sprache verwendet wird, dh unvorhersehbar und scheinbar nicht deterministisch. Obwohl ich betonen sollte, dass wirklich zufällige Bewegung oder alles Zufällige in der Natur fast immer pseudozufällig ist, da es im Allgemeinen in gewissem Sinne ein Muster gibt, ist es einfach unter verschiedenen Ebenen der Komplexität verborgen.

Mir fällt nur ein Phänomen ein, das die genaueste Version echter Zufälligkeit hervorbringen kann. Nehmen Sie einen Klumpen eines radioaktiven Materials mit einer geeigneten kurzen Halbwertszeit. Ordnen Sie einen Mechanismus an, um Bewegung in jede Richtung zu ermöglichen, sagen wir, ein Spielzeugauto. Dann würde jedes Mal, wenn es zu einem radioaktiven Zerfall kommt, das Spielzeugauto in einem unvorhersehbaren Muster losgehen.

Aber es scheint, dass die "Brownsche Bewegung" eine Form von Determinismus hat, da wir das Muster vorhersagen können, das durch den Weg des Teilchens auf lange Sicht erzeugt wird.

Die Brownsche Bewegung ist speziell die scheinbare Bewegung von Atomen und Molekülen im mikroskopischen Maßstab in einem flüssigen Medium. Auch hier könnte/sollte es als pseudozufällig eingestuft werden, da es oft offensichtliche Ursachen und Wirkungen gibt. Wenn beispielsweise Wassermoleküle erhitzt werden, erhöhen sie ihre Bewegung in Übereinstimmung mit verschiedenen bekannten physikalischen Gesetzen, wie dem Maxwell-Wahrscheinlichkeitsgesetz in Bezug auf Geschwindigkeiten.

Die Brownsche Bewegung kann also im Allgemeinen als weniger zufällig als andere Formen der Zufälligkeit angesehen werden. Es wäre ein Vergleich von Fall zu Fall erforderlich, um festzustellen, welche Bewegung stärker von der Zufälligkeit beeinflusst wird.