Heuristik hinter der Dirac-Delta-Funktion in der Hauptgleichung für Wahrscheinlichkeit?

Hier ist, wie ich zu einer Intuition dafür kommen würde. Ich würde über die Rate des "Wahrscheinlichkeitsflusses" in eine Region nachdenken, indem ich die Gleichung über eine Region im Raum integriere. Nehmen wir zunächst an, dass überhaupt keine Diffusion stattfindet, da dies komplizierter ist (obwohl direkt machbar und verständlich). Dann

$$\int_a^b dx\frac{\partial p(x,t|x_0)}{\partial t}=\int_a^bdx\left(-rp(x,t|x_0)+r\delta(x-x_0)\right),$$ als was wir schreiben können $$\frac{\partial}{\partial t}\int_a^b dx~p(x,t|x_0) = -r\int_a^bdx~p(x,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ was wir weiter schreiben können als $$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0)+r\int_a^bdx~\delta(x-x_0),$$ Wo $P(a\leq x\leq b,t|x_0)$ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen dazwischen befindet $a$Und $b$zum Zeitpunkt $t$vorausgesetzt, es begann um $x_0$.

Nun, wenn$x_0$ist nicht im Intervall enthalten$[a,b]$, dann wird dies

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = -rP(a\leq x\leq b,t|x_0),$$ was nur besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in dem Intervall befindet, mit der Zeit exponentiell abnimmt, was genau ihr Rücksetzprozess ist, der durch den exponentiellen Abfall dargestellt wird, wenn es sich an einem anderen Ort befindet als $x_0$.

Andererseits, wenn$x_0$ im Intervall enthalten ist , dann wird die Gleichung

$$\frac{\partial}{\partial t}P(a\leq x\leq b,t|x_0) = r(1-P(a\leq x\leq b,t|x_0)).$$ Es gibt zwei Komponenten des Wahrscheinlichkeitsflusses: Da ist die eine, die wir vorher hatten, die besagt, dass wir „Wahrscheinlichkeit verlieren“, weil es einen exponentiellen Prozess gibt, von dem wir wegspringen müssen $x$, aber wir gewinnen Wahrscheinlichkeit, weil Teilchen zu springen $x_0$.

Betrachten wir ein zentriertes Intervall von ca$x_0$, Dann

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) = r(1-P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0)),$$ und wenn wir uns eingrenzen $x_0$indem $\epsilon$klein sein, dann ist dies ungefähr durch gegeben $$\frac{\partial}{\partial t}P(x_0-\epsilon\leq x\leq x_0+\epsilon,t|x_0) \approx r,$$ was nur besagt, dass die Rate, mit der Partikel zurückgesetzt werden, genau ist $r$.