Diffusionskoeffizient für asymmetrische (voreingenommene) Irrfahrt

VORWORT

Nach mehreren Bearbeitungen bietet diese Antwort eine naive Erklärung dafür, warum Ihr Ansatz fehlgeschlagen ist, wie Sie ihn beheben können (naiv) und einen völlig anderen (aber richtigen) Ansatz zur Lösung des Problems.

Einleitung

Sie haben Recht: Der Diffusionskoeffizient sollte sein$D=4pqD_0$,$D_0$der "normale" sein (siehe unten für Ableitungen).

Ich weiß nicht genau, warum Ihr Ansatz nicht funktioniert, aber es gibt starke Beweise dafür, dass etwas nicht stimmt, was meiner Meinung nach vom beteiligten stochastischen Prozess abhängt: wenn Sie definieren${\Delta x\over \Delta t}=v$und es endlich ist, dann "dein"$D={\Delta x^2 \over 2\Delta t}={\Delta x\over 2} v$verschwindet im Kleinen$\Delta x$Grenze.

Tatsache ist, dass Sie auf der linken Seite eine Zeitableitung haben ($O(\Delta t)$), während Sie auf der rechten Seite eine Sekunde haben$x$-Derivat ($O(\Delta x^2)$).

Nun, da das Verhältnis$v={\Delta x\over \Delta t}$endlich ist, bedeutet es das$O(\Delta x^2)=O(\Delta t^2)$Die beiden Seiten der Gleichung stimmen also nicht überein. Mit normaler Brownscher Bewegung hätten Sie das getan$\Delta x\sim \sqrt{\Delta t}$also kein Problem.

Grundsätzlich bringt die durch die Vorspannung verursachte Drift die Dinge durcheinander ...

Ich bin enttäuscht zu sehen, dass so viele Bücher und Papiere diesen Fehler machen und verwenden$D_0$auch für voreingenommene Random Walks ... (es macht nur Sinn, wenn die Vorspannung extern ist und die Diffusion die "normale" ist, während es in diesem Fall der gleiche Prozess ist ...)

Ich schlage Ihnen jetzt zwei Lösungen vor: Die erste ist ein Fokker-Planck-Ansatz. Die zweite ist eine von Langevin.

Ich bin mir sicher, dass die Ergebnisse stimmen (Simulationen + Papiere + Bücher beweisen es), aber ich bin mir nicht sicher über die Schritte (da ich sie hauptsächlich selbst gemacht habe). Es ist schwierig, eine theoretische Behandlung dieser Angelegenheit zu finden.

Fokker-Planck-Ansatz

Das Problem, mit dem wir hier konfrontiert sind, ist Drift + Diffusion: Das Partikel driftet (aufgrund der Vorspannung), oszilliert aber auch um seinen Mittelwert (wie die normale Diffusion oszillieren würde$0$).

Wir definieren die Driftgeschwindigkeit$v={\Delta x\over \Delta t}$. Wenn wir nur driften würden, wäre das FP:

$$\partial_t P_d(x, t)=-v\partial_x P_d$$

Wenn wir stattdessen nur Diffusion hätten:

$$\partial_t P_D(x, t)=D\partial^2_x P_D$$

Problem: Welches D wähle ich? Allgemein$D\sim \Delta x^2$aber in unserem Fall "ein Bruchteil"$(p-q)\Delta x$der ursprünglichen Verschiebung wurde in Drift umgewandelt, also renormieren wir, indem wir diesen Teil entfernen (dies ist gleichbedeutend damit, nur die Varianz der Verschiebung zu berücksichtigen, anstatt dass ihr quadratischer Mittelwert, die wiederum bei normaler Diffusion identisch sind, also ...):

$$D={1\over 2\Delta t}\left(\Delta x^2 - (p-q)^2\Delta x^2\right) = 4pq{\Delta x^2\over 2\Delta t}$$ (Ich benutzte $p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$).

Wie Sie sehen, haben wir die gefunden$D$Ich habe es vorhergesagt - aber das war für mich eine Art Vertrauensvorschuss, obwohl ich sehe, dass der Diffusionskoeffizient manchmal als definiert wird${var(\Delta x)\over 2\Delta t}={\langle \Delta x^2\rangle - \langle \Delta x\rangle ^2)\over 2\Delta t}$statt einfach${\langle\Delta x^2\rangle\over 2\Delta t}$. Ich habe das nie bemerkt, weil es bei der normalen Diffusion keinen Unterschied gibt, da der Mittelwert null ist.

Jedenfalls sind die beiden Prozesse für sich perfekt definiert.

Wir müssen jetzt Drift und Diffusion zusammenfügen. Da die beiden Prozesse gleichzeitig stattfinden, ist die endgültige Wahrscheinlichkeit$P(x, t)$zu finden als:

$$P(x, t)=\int P_D(x-y)P_d(y)dy$$ (Bedeutung: Reisewahrscheinlichkeit $x-y$durch Diffusion mal Reisewahrscheinlichkeit $y$durch Drift, integriert über $y$). Auch dies ist ein Vertrauensvorschuss, ebenso wie der Beweis (den ich meiner Meinung nach gefunden habe, aber nicht sicher wäre: Man muss nur die Zeitableitung dieses Zeugs nehmen und mit den Integralen und Ableitungen spielen ein wenig...), dass dies zu Folgendem führt:

$$\partial_t P= -v\partial_x P +{D}\partial^2_x P$$ das ist der Fokker-Planck, den wir suchen, mit $D=4pqD_0$.

Langevin-Ansatz

Eine der Quellen, die Sie in einem Kommentar zitiert haben, zeigt bereits Folgendes, aber ich mache es auf eine physischere Weise.

Ich bin mir nicht sicher, ob es helfen kann, aber ich schlage Ihnen einen ähnlichen Ansatz vor (eher Langevin-ähnlich), der zu den ersten beiden Momenten der Position führt$x$und zu einer eindeutigen Definition des Diffusionskoeffizienten.

Ich stehe diesem Ergebnis positiv gegenüber.

Wir nehmen einen diskreten Prozess von an$N={t\over \Delta t}$Schritte, dort$t$ist die Gesamtzeit. Bei jedem Schritt verdrängen sich die Partikel$\Delta$mit Wahrscheinlichkeit$p$nach rechts u$q=1-p$Nach links.

Also bei jedem Schritt:

$$x(t+\Delta t)=x(t)+\eta_{\Delta t}$$

Wo$\eta_{\Delta t}$ist ein Prozess, der gibt$\Delta$mit Wahrscheinlichkeit$p$Und$-\Delta$mit Wahrscheinlichkeit$q$, so dass$\langle \eta_{\Delta t }\rangle = (p-q)\Delta$Und$\eta_{\Delta t}^2=\Delta^2$. Beachten Sie, dass dies definiert$\eta_{\Delta t}$nur jeweils$\Delta t$Sekunden. Wir wissen nicht, was auf anderen Skalen passiert.

Also haben wir nachher$\Delta t$:

$$dx=x(t+\Delta t)-x(t)=\eta_{\Delta t}$$ und damit ist sein Durchschnittswert:

$$\langle dx \rangle=\langle \eta_{\Delta t} \rangle=(p-q)\Delta$$ so dass $$\langle x(t)-x(0) \rangle=\langle \sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\rangle=\sum_{i=1}^N \langle dx\rangle=N(p-q)\Delta=(p-q){\Delta \over \Delta t}t$$

Wenn wir setzen$v={\Delta \over \Delta t}$Dies ist Ihr gleiches Ergebnis und es macht Sinn. Beachten Sie, dass wir uns aufteilen mussten$x(t)-x(0)$In$\Delta t$-großes Intervall, da wir nicht wissen, was auf anderen Skalen passiert.

Schwieriger wird es im zweiten Moment:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\right)^2\rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2$$

und das ist das Quadrat einer Summe, also:

$$\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2\rangle=\sum^N_{i=1}\langle dx^2\rangle + 2\sum^N_{i<j}\langle dx\rangle_i\langle dx\rangle_j$$

jetzt, mit den Momenten von$dx$was wir wissen, da alle Momente gleich sind:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=N\langle dx^2\rangle+N(N-1)\langle dx \rangle ^2$$ dh

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2 N(1+(N-1)(p-q)^2)$$

die geändert werden kann in (mit$p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$):

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} \left((1-4pq){t\over \Delta t}+4pq)\right)$$

Nun, wenn$p=q=1/2$du erhältst

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} = 2Dt$$ mit $D={\Delta^2\over 2\Delta t}$was wie erwartet eine normale Diffusion ist.

Wenn stattdessen$p=1$Und$q=0$(oder umgekehrt)

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 = (vt)^2$$

was wiederum sicherlich richtig ist.

Alle Zwischenfälle sind seltsam. Beachten Sie außerdem, dass in allen anderen Fällen, wenn Sie lassen$\Delta t, \Delta x\rightarrow 0$seltsame Dinge passieren.

Ich denke, das ist der Grund, warum der Fokker-Planck nicht richtig ausfällt, außer in einfachen Fällen. Es muss einen Trick mit "stochastischen Prozessen" geben, den ich jetzt kenne.

Aber zumindest kann man umschreiben:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 (1-4pq)+4pq\Delta^2{t\over \Delta t} = (vt)^2(1-4pq)+2D_{eff}t$$ mit $D_{eff}=4pq{\Delta^2\over2\Delta t}$.

Dieser Prozess ist ein Drift+Diffusionsprozess: Das Teilchen driftet mit Geschwindigkeit$(p-q)vt$(das ist der Durchschnittswert der Position) und oszilliert um einen solchen Wert. Zu jedem Zeitpunkt kann man die Varianz berechnen:

$$\sigma^2=\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle -\langle (x(t)-x(0)) \rangle ^2$$ was sich herausstellt

$$\sigma^2(t) = 2D_{eff}t = 8pqD_0t$$ Wo $D_0={\Delta^2 \over 2\Delta t}$ist der normale Diffusionskoeffizient.

Ich denke also, dass der Prozess durch eine Gaußsche Verteilung dargestellt wird (vorausgesetzt, wir haben damit begonnen$P(x, 0)=\delta(x-x_0)$mit Mittel$x0+(p-q)vt$und Varianz$\sigma^2(t)$. Die Verteilung bewegt sich also und breitet sich aus.

Simulationen, die ich gerade mache, stimmen überein.

Schlussfolgerungen

Ich bin mir nicht sicher, ob wir die richtige Fokker-Planck gefunden haben (oder dass wir sie auf die richtige Weise gefunden haben), aber ich denke, wir haben sie gefunden$P(x, t)$...! Dieses P(x, t) macht Sinn und ist wahrscheinlich das Richtige. Da Simulationen jedoch immer diskrete Schritte beinhalten, bin ich mir nicht sicher, was in der kontinuierlichen Grenze passieren würde ... vielleicht kann die Gültigkeit einiger Schritte auseinanderfallen.

Dennoch denke ich, dass wir uns als zufrieden betrachten können.

Die Gleichung, die Sie beschreiben, ist als Langevin-Gleichung in und die entsprechende Fokker-Plank-Gleichung bekannt. Das Hauptproblem bei der Diffusionsgleichung ist das$p$darf nicht 1 sein und$q$0 sein, aber es wird eine Verknüpfungsgleichung benötigt (wie im Ito-Framework):

$$\Delta h = const \sqrt{\Delta t} \\ $$

dafür brauchst du

$$p - q = \frac{\alpha}{\sigma} \sqrt{\Delta t} \\ $$

Wo$\alpha$ist der Term in der Ito-Gleichung

$$dX = \alpha dt + \sigma dZ$$

Jetzt laut dieser Zeitschrift

anomale Diffusionseigenschaften wurden mit mehreren Ansätzen ausgiebig untersucht, um verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu modellieren Begriff). Anomale Diffusionsregime können auch durch die übliche Fokker-Planck-Gleichung erhalten werden, sie entstehen jedoch durch variable Diffusionskoeffizienten, die von Zeit und/oder Raum abhängen. Andererseits ist es aus Sicht des Langevin-Ansatzes mit einem multiplikativen Rauschterm verbunden. In anderen Ansätzen wie der verallgemeinerten Fokker-Planck-Gleichung (nichtlinear) und Bruchgleichungen können sie anomale Diffusionsregime mit einem konstanten Diffusionskoeffizienten beschreiben. Die Langevin-Gleichung ist ein sehr wichtiges Werkzeug zur Beschreibung von Systemen außerhalb des Gleichgewichts [3, 4]. Darüber hinaus wurde diese Gleichung ausführlich untersucht; viele Eigenschaften und analytische Lösungen davon wurden ebenfalls offenbart. In dieser Arbeit stellen wir Lösungen einer Klasse der Langevin-Gleichung mit deterministischer Drift und multiplikativen Rauschtermen in Zeit und Raum vor. Dazu erhalten wir die entsprechende Fokker-Planck-Gleichung in der Stratonovich-Definition und dann ihre Lösungen für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (PDF). präsentieren wir Lösungen einer Klasse der Langevin-Gleichung mit deterministischer Drift und multiplikativen Rauschtermen in Zeit und Raum. Dazu erhalten wir die entsprechende Fokker-Planck-Gleichung in der Stratonovich-Definition und dann ihre Lösungen für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (PDF). präsentieren wir Lösungen einer Klasse der Langevin-Gleichung mit deterministischer Drift und multiplikativen Rauschtermen in Zeit und Raum. Dazu erhalten wir die entsprechende Fokker-Planck-Gleichung in der Stratonovich-Definition und dann ihre Lösungen für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (PDF).

Jetzt nach der Langevin-Gleichung

$$\xi = h (\xi, t) + g(\xi, t) \Gamma(t)\\ $$

Wo$\xi$ist eine stochastische Variable und$\Gamma(t)$ist die Langevin-Kraft. Für$g = \sqrt{D}$Und$h(\xi, t) = 0$wir erhalten beschreibt den Wiener-Prozess und die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch eine Gaußsche Funktion beschrieben. Durch Anwendung des Stratonovich-Ansatzes in einem eindimensionalen Raum der Langevin-Gleichung erhalten wir die folgende dynamische Gleichung für die SDE (in besserer Schreibweise umgeschrieben):

$$\partial_t P(x,t) = -D_1 \partial_x P(x,t) + D_2 \partial_x^2 P(x,t)$$

wo mit Stratonovich-Ansatz

$$D_1(x,t) + \frac{\partial g(x,t)}{\partial x} g(x,t)$$

Und

$$D_2 (x,t) = g^2 (x,t)$$

Es ist wichtig, den begrifflichen Unterschied zwischen Diffusion und Verdrängung zu machen. Es liegt an Ihnen, zu entscheiden, wie sich Ihr Diffusionskoeffizient verhalten soll, und zu sehen, ob er eine physikalische Situation nachahmen kann.

Ihre Gleichungen können eine Realität beschreiben.

Stellen Sie sich ein Glas Wasser vor, das Sie aus einem Gebäude im dritten Stock fallen lassen. Wenn Sie keinen Wind annehmen, werden Ihre Wassermoleküle früher oder später auf die Straße fallen, aber Ihre Flüssigkeit wird sich aus Gründen, die uns nicht interessieren müssen, aber vorhanden sind (in diesem Fall Luftreibung), vertikal im Raum verteilen. Sie werden höchstwahrscheinlich zustimmen, dass Sie in diesem realistischen Szenario Moleküle in der Flüssigkeit finden werden, deren Geschwindigkeit kleiner als v ist, wobei v die über alle Moleküle gemittelte Geschwindigkeit ist. Dies liegt an D, das in diesem Fall die Streuung von Momentum/Position beschreibt.

Sie können sich dasselbe Experiment mit den einzelnen Molekülen vorstellen, die eines nach dem anderen vom Balkon fallen gelassen werden. Sie werden feststellen, dass Ihre Geschwindigkeit im Durchschnitt v ist, aber nicht alle Teilchen gleichzeitig ankommen, und die Ausbreitung durch D gegeben ist und D nicht Null ist.