Weißes Rauschen und Fourier-Transformation

Question

Weißes Rauschen und Fourier-Transformation

Physik
Brownsche Bewegung
Fourier-Transformation
stochastische Prozesse
Hausaufgaben-und-Übungen

David

Ich versuche, eine Langevin-Gleichung im Fourier-Raum zu lösen. Mein Verständnis des weißen Rauschens im Fourier-Raum scheint falsch zu sein.

Angenommen, ich habe ein Teilchen mit seiner zeitlichen Entwicklung der Position, die durch die stochastische Differentialgleichung gegeben ist.

\frac{D F (T)}{D T} = G (F) + ξ (T)

$\frac{d f(t)}{dt}=g(f)+\xi(t)$

$f$ ist die Stellung, $\xi$ ist das weiße Rauschen, $g$ einige Funktion der Position, und $t$ die Zeit.

Das Teilchen bewegt sich gemäß der Differentialgleichung, aber wegen des Rauschens beobachte ich jedes Mal, wenn ich das Experiment wiederhole, eine andere Flugbahn. Von Interesse ist nicht die Position des Teilchens zur Zeit $t_0$ sondern der Durchschnitt über eine große Anzahl von Realisierungen, die alle gleichzeitig bewertet wurden $t_0$ .

Ich schreibe diese "Durchschnitt über alle Realisierung" mit $<>$ .

Der Lärm, jederzeit $t$ , ist im Durchschnitt null: $<\xi(t)>=0 \quad \forall ~t$ .

Das heisst:

lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{J = 1}^{N} ξ_{J} (T) = 0 \forall T

$\lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N}\xi_j(t)=0 \quad \forall ~t$

mit " $j$ „Die unterschiedlichen Erkenntnisse.

Ich möchte das Rauschen Fourier-transformieren. Angesichts einer bestimmten Erkenntnis " $j$ „Vom Lärm $\xi_j(t)$ Ich kann seine Fourier-Transformation berechnen:

$\hat\xi_j(\omega)=\int \xi_j(t) e^{i\omega x}dt$

Jetzt möchte ich den Durchschnitt über alle Realisierungen berechnen:

< \hat{ξ} (ω) >= lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{J = 1}^{N} {\hat{ξ}}_{J} (ω) = lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{J = 1}^{N} \int ξ_{J} (T) e^{ich ω T} D T = \int (lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{J = 1}^{N} ξ_{J} (T)) e^{ich ω T} D T = \int < ξ (T) > e^{ich ω X} D T = 0

$<\hat\xi(\omega)>=\lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \hat\xi_j(\omega) \\ \quad \quad \quad \quad ~= \lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \int \xi_j(t) e^{i\omega t}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= \int \left( \lim\limits_{N\rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum\limits_{j=1}^{N} \xi_j(t) \right) e^{i\omega t}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= \int <\xi(t)> e^{i\omega x}dt \\ \quad \quad \quad \quad ~= 0$

Was falsch ist, da das Fourier-Spektrum eines weißen Rauschens eine konstante Funktion ist. Was vermisse ich?

ACuriousMind

Bist du sicher, dass du den Grenzwert und das Integral so vertauschen kannst?

user73762

Ich bin sicher, Sie können es nicht; Daher benötigen Sie eine andere Berechnungsmethode

⟨ ξ (t) e^{i ω t} ⟩

$\left\langle \xi(t) e^{i\omega t} \right\rangle$ . Das ist der Grund, warum sich die Antwort von Mark Mitchison darauf konzentriert

⟨ ξ (t) ξ (t^{'}) ⟩

$\left\langle \xi(t) \xi(t^\prime) \right\rangle$ , ist relevant. Beachten Sie, dass dies, sofern nicht Ihre Formulierung und Ihr anfänglicher Ansatz, für den Durchschnitt aller Prozesse gilt (

ξ (t)

$\xi(t)$ statt

ξ_{j} (t)

$\xi_j(t)$ ), aber das ist eigentlich der interessante Aspekt.

Markus Mitchison

@pyramiden Trotzdem finde ich das Fazit, dass

⟨ \int d t e^{i ω t} ξ (t) ⟩ = 0

$\langle \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t) \rangle = 0$ , sollte richtig sein, oder? Da wir eine Reihe von deltakorrelierten Zufallsfunktionen betrachten, würde ich erwarten, dass die Fourier-Transformation jeder dieser Funktionen mit einer gewissen Häufigkeit ausgewertet wird

ω

$\omega$ , gleichmäßig auf positive und negative Werte zu verteilen.

Markus Mitchison

@pyramids Was meinst du damit, dass die Fourier-Transformation Strom spart? Um die Macht zu betrachten, sprechen wir dann nicht sowieso vom zweiten Moment?

Markus Mitchison

@pyramiden Ich stimme nicht zu. Die Fourier-Transformation jeder Realisierung verschwindet nicht. Jedoch der Durchschnittswert (Durchschnitt über Realisierungen) der Fourier-Transformation bei jeder Frequenz

ω

$\omega$ muss Null sein. Was könnte es sonst sein?

user73762

Ich denke du hast recht und ich habe mich geirrt.

Robert Bristol-Johnson

Es gibt einen Unterschied zwischen der Fourier-Transformation von etwas und dem Leistungsspektrum desselben Etwas. die Fourier-Transformation einer stochastischen Funktion ist selbst ebenfalls zufällig. aber unter bestimmten Bedingungen (wie Ergodizität) ist der Erwartungswert des Leistungsspektrums von weißem Rauschen eine Konstante.

David

Ok, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke Jungs. Ich denke also, mein Kalkül ist korrekt, aber mein Fehler lag in der falschen Aussage: "Das Fourier-Spektrum eines weißen Rauschens ist eine konstante Funktion". Wie MarkMitchison sagte, ist der Durchschnitt der Fourier-Transformation für jede Frequenz Null, und das Leistungsspektrum, das dasselbe ist wie die Fourier-Transformation der Autokorrelation, ist im Durchschnitt eine konstante Funktion. Mark, kannst du deine Antwort mit all diesen Informationen bearbeiten? Beifall

Markus Mitchison

@David Ich habe meine Antwort aktualisiert. Übrigens können Sie Benutzer markieren, indem Sie das Arroba-Symbol (@) vor ihren Namen setzen. Andernfalls werden sie nicht über Ihre Antwort benachrichtigt.

David

@MarkMitchison ok, habs verstanden ;)

Antworten (1)

Weißes Rauschen und Fourier-Transformation

Bist du sicher, dass du den Grenzwert und das Integral so vertauschen kannst?
Ich bin sicher, Sie können es nicht; Daher benötigen Sie eine andere Berechnungsmethode $\left\langle \xi(t) e^{i\omega t} \right\rangle$ . Das ist der Grund, warum sich die Antwort von Mark Mitchison darauf konzentriert $\left\langle \xi(t) \xi(t^\prime) \right\rangle$ , ist relevant. Beachten Sie, dass dies, sofern nicht Ihre Formulierung und Ihr anfänglicher Ansatz, für den Durchschnitt aller Prozesse gilt ( $\xi(t)$ statt $\xi_j(t)$ ), aber das ist eigentlich der interessante Aspekt.
@pyramiden Trotzdem finde ich das Fazit, dass $\langle \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t) \rangle = 0$ , sollte richtig sein, oder? Da wir eine Reihe von deltakorrelierten Zufallsfunktionen betrachten, würde ich erwarten, dass die Fourier-Transformation jeder dieser Funktionen mit einer gewissen Häufigkeit ausgewertet wird $\omega$ , gleichmäßig auf positive und negative Werte zu verteilen.
@pyramids Was meinst du damit, dass die Fourier-Transformation Strom spart? Um die Macht zu betrachten, sprechen wir dann nicht sowieso vom zweiten Moment?
@pyramiden Ich stimme nicht zu. Die Fourier-Transformation jeder Realisierung verschwindet nicht. Jedoch der Durchschnittswert (Durchschnitt über Realisierungen) der Fourier-Transformation bei jeder Frequenz $\omega$ muss Null sein. Was könnte es sonst sein?
Es gibt einen Unterschied zwischen der Fourier-Transformation von etwas und dem Leistungsspektrum desselben Etwas. die Fourier-Transformation einer stochastischen Funktion ist selbst ebenfalls zufällig. aber unter bestimmten Bedingungen (wie Ergodizität) ist der Erwartungswert des Leistungsspektrums von weißem Rauschen eine Konstante.
Ok, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke Jungs. Ich denke also, mein Kalkül ist korrekt, aber mein Fehler lag in der falschen Aussage: "Das Fourier-Spektrum eines weißen Rauschens ist eine konstante Funktion". Wie MarkMitchison sagte, ist der Durchschnitt der Fourier-Transformation für jede Frequenz Null, und das Leistungsspektrum, das dasselbe ist wie die Fourier-Transformation der Autokorrelation, ist im Durchschnitt eine konstante Funktion. Mark, kannst du deine Antwort mit all diesen Informationen bearbeiten? Beifall
@David Ich habe meine Antwort aktualisiert. Übrigens können Sie Benutzer markieren, indem Sie das Arroba-Symbol (@) vor ihren Namen setzen. Andernfalls werden sie nicht über Ihre Antwort benachrichtigt.

Markus Mitchison · Answer 1

Das OP sagt zu Recht, dass die Fourier-Transformation

ξ (ω) = \int D T e^{ich ω T} ξ (T),

$\xi(\omega) = \int\mathrm{d}t\, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t),$ verschwindet bei Mittelung über Realisierungen,

⟨ ξ (ω) ⟩ = 0

$\langle \xi(\omega)\rangle = 0$ , solange wir davon ausgehen, dass das Rauschen auch im Zeitbereich im Mittel Null ist,

⟨ ξ (t) ⟩ = 0

$\langle \xi(t)\rangle = 0$ .

Das Rauschen zeichnet sich jedoch nicht nur durch sein erstes Moment aus, sondern auch durch seine Autokorrelationsfunktion:

⟨ ξ (T) ξ (T^{'}) ⟩ = η δ (T - T^{'}) .

$\langle \xi(t) \xi(t^\prime)\rangle = \eta\delta(t - t^\prime).$ Diese letzte Gleichung charakterisiert die Schwankungen von

ξ (t)

$\xi(t)$ rechtzeitig; Das Vorhandensein der Delta-Funktion auf der rechten Seite definiert eigentlich weißes Rauschen. Die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion ergibt das Leistungsspektrum: wie die Rauschleistung über verschiedene Frequenzen verteilt ist. Für weißes Rauschen nimmt dies eindeutig den konstanten Wert an

η

$\eta$ im Frequenzraum (bis zu einer Wahl der Normierung für die Fourier-Transformation). Das bedeutet, dass die Fluktuationen gleiche Beiträge von allen Frequenzen enthalten, dh schnelle und langsame Fluktuationen tragen gleichermaßen bei.

Als Nebenbemerkung ist erwähnenswert, dass wir weißes Rauschen mit einem Durchschnitt ungleich Null in Betracht ziehen könnten $\langle \xi(t) \rangle = \xi_0.$ Dies bedeutet einfach, dass das Rauschen eine konstante (dh nicht zufällige) Komponente hat. In diesem Fall haben wir das $\langle\xi(\omega)\rangle = 2\pi\xi_0 \delta(\omega)$ , und die Bedingung für weißes Rauschen ist

⟨ ξ (T) ξ (T^{'}) ⟩ = ξ_{0}^{2} + η δ (T - T^{'}) .

$\langle \xi(t) \xi(t^\prime)\rangle =\xi_0^2+ \eta\delta(t - t^\prime).$ Die Wahl

ξ_{0} = 0

$\xi_0 = 0$ ist lediglich eine Konvention, die diese Ausdrücke vereinfacht. Durch die Verschiebung können wir immer ein mittelwertfreies weißes Rauschen erhalten

ξ (t) \to ξ (t) - ξ_{0}

$\xi(t) \to \xi(t) -\xi_0$ .

Sie sagten, "das Fourier-Spektrum des weißen Rauschens ist eine konstante Funktion". Dies gilt für den zweiten Moment , nicht für den ersten. Der Durchschnitt von $\xi(\omega)$ ist Null.
Ok, also hier ist mein Fehler ... ? Was wäre das Fourier-Spektrum eines weißen Rauschens, wenn man die Momente nicht berücksichtigt?
Was genau meinst du mit "dem Fourier-Spektrum des weißen Rauschens"? Meinst du $\xi(\omega) = \int\mathrm{d}t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \xi(t)$ ? Dies ist eine Zufallsvariable, das einzige, was Sie darüber sagen können , sind ihre Momente (oder andere äquivalente Größen wie die Kumulanten).
Ja das meine ich. Und ja, ich versuche tatsächlich zu berechnen $\xi(\omega)$ erster Augenblick: $<\xi(\omega)>$

Weißes Rauschen und Fourier-Transformation

David

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