Wie fügt man Langevin-Begriffe zum halbklassischen Bose-Hubbard-Modell hinzu?

Ich möchte Langevin-Terme zu den Hamilton-Bewegungsgleichungen des semiklassischen Bose-Hubbard-Modells hinzufügen.

Hier ist, was ich habe:

Ich beginne mit dem Standardbeispiel der Brownschen Bewegung, einem Teilchen in einem Potential. Seine Hamilton-Funktion lautet:

$H = \frac{1}{2m} p^2 + V\left(q\right)$,

Die entsprechenden Hamilton-Bewegungsgleichungen (EoM) lauten:

$\dot{p}=-\partial_{q}H=-\partial_{q}V\left(q\right)$

$\dot{q}=\partial_{p}V\left(q\right)=\frac{p}{m}$

Man kann diese gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung in eine einzige Differentialgleichung zweiter Ordnung überführen:

$\ddot{q}=-\frac{1}{m}\partial_{q}V\left(q\right)$

und schreiben Sie sie um als

$m\ddot{q}=-\partial_{q}V\left(q\right)$.

In dieser Form kann man Langevin-Begriffe hinzufügen (siehe Wikipedia-Eintrag zur Langevin-Dynamik ) und man erhält:

$m\ddot{q}=-\partial_{q}V\left(q\right)-\gamma m \dot{q} + \sqrt{2\gamma m k_\text{B}T} \;\xi\left(t\right)$,

Wo$\gamma$ist die Dämpfung (freier Parameter) und$\xi\left(t\right)$ein Delta-korrelierter stationärer Gaußscher Prozess mit Null-Mittelwert, der Folgendes erfüllt:

$\left\langle \xi\left(t_{i}\right) \xi\left(t_{j}\right)\right\rangle=\delta\left(t_{i}-t_{j}\right)$.

Um dies numerisch mit einem SDE-Löser (z. B. Heun-Schema) zu lösen, müssen wir dies als System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung schreiben:

$\dot{p}=-\frac{1}{m}\partial_{q}V\left(q\right)-\gamma \dot{q} + \sqrt{2\gamma m k_\text{B}T} \;\xi\left(t\right)$

$\dot{q}=\frac{p}{m}$

Dasselbe können wir für die erreichen$xy$-Modell (das dem semiklassischen Bose-Hubbard-Modell, meinem Ziel-Hamiltonian, sehr ähnlich ist). Seine Hamilton-Funktion lautet

$H^{\text{xy}}=-\sum_{\left\langle ij\right\rangle}J_{ij}\cos\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)+\frac{1}{2}U\delta n_{i}^2$,

wobei die kanonisch konjugierten Variablen die Onsite-Phase sind$\theta_{i}$und die Dichteschwankungen$\delta n_{i}$.

Die entsprechenden EoM sind

$\dot{\theta}_{i}=U\delta n_{i}$

$\delta\dot{n}_{i}=-\sum_{j\left(i\right)}J_{ij}\sin\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)$.

Formal der Begriff$\frac{1}{2}U\delta n_{i}^2$ist wie eine kinetische Energie, mit$U$die Rolle einer inversen Masse spielen. Analog können wir also wie im vorherigen Beispiel Langevin-Terme zur zweiten Gleichung hinzufügen:

$\delta\dot{n}_{i}=-\sum_{j\left(i\right)}J_{ij}\sin\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)-\gamma \delta\dot{n}_{i} + \sqrt{2\gamma k_{\text{B}}T/U}\;\xi\left(t\right)$.

Was ich gerne hätte, ist ein ähnlicher Ausdruck für das halbklassische Bose-Hubbard-Modell.

Ich beginne mit dem semiklassischen (mit komplexen Zahlen statt Feldoperatoren) Bose-Hubbard-Hamiltonian in kohärenter Zustandsdarstellung,

$H^{\text{BHM}}\left(\psi^{\ast}_{i},\psi_{i}\right) = -\sum_{\left\langle ij\right\rangle}t_{ij}\left( \psi^{\ast}_{i}\psi_{j}+\text{c.c.}\right) + \frac{1}{2}U n^{2}_{i}$Wo

$n_{i} = \psi^{\ast}_{i} \psi_{i}$,

und wandeln Sie diese dann mithilfe von in eine Koordinaten-Impuls-Darstellung um

$\psi_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q_{i}+\imath p_{i}\right)$

$\psi^{\ast}_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q_{i}-\imath p_{i}\right)$,

$H^{\text{BHM}}\left(q_{i},p_{i}\right) = -\sum_{\left\langle ij\right\rangle}t_{ij}\frac{1}{2}\left(q_{i} p_{j} + q_{j} p_{i}\right)+ \frac{1}{2}U \frac{1}{4}\left(q^{2}_{i}+p^{2}_{i}\right)^2$

mit EoM:

$\dot{q}_{i}=-\sum_{j\left(i\right)}t_{ij}p_{j}+\frac{1}{2}U\left(q^2_{i}+p^{2}_{i}\right)p_{i}$

$\dot{p}_{i}=+\sum_{j\left(i\right)}t_{ij}q_{j}-\frac{1}{2}U\left(q^2_{i}+p^{2}_{i}\right)q_{i}$

Wie addiert man Langevin-Terme richtig?

Update (nach Ted Pudliks Kommentar):

Dem Vorschlag von Ted Pudlik folgend, schreibe ich den semiklassischen Bose-Hubbard-Hamiltonian in Dichte-Phasen-Notation:

$H^{\text{BHM}} \left(n_i,\theta_i\right)=-\sum_{\left\langle ij\right\rangle}\left(t_{ij}\sqrt{n_i}\sqrt{n_j}\mathrm{e}^{\imath\left(\theta_j-\theta_i\right)}+\text{c.c.}\right)+\frac{1}{2}U\sum_{i}n_i^2$

Die entsprechenden Hamilton-Bewegungsgleichungen lauten:

$\dot{\theta}_i=\partial_{n_i}H^{\text{BHM}}\left(n_i,\theta_i\right)=U n_i-\sum_{j\left(i\right)}\left(t_{ij}\frac{\sqrt{n_j}}{2\sqrt{n_i}}\mathrm{e}^{\imath\left(\theta_j-\theta_i\right)}+\text{c.c.}\right)$

$\dot{n_i}=-\partial_{\theta_i}H^{\text{BHM}}\left(n_i,\theta_i\right)=\sum_{j\left(i\right)}\left(\imath t_{ij}\sqrt{n_i n_j}\mathrm{e}^{\imath\left(\theta_j-\theta_i\right)}+\text{c.c.}\right)$

Wie im XY-Modell füge ich der Ableitung der Dichte (nicht der Phase, wie zuvor angegeben - siehe Kommentar unten) die folgenden Terme hinzu:

$-\gamma n_i +\sqrt{2\gamma k_{\mathrm{B}}T/U}\;\xi\left(t\right)$

wo ich wähle$\gamma$nach meinen Bedürfnissen (zB kleiner als kleinste Eigenfrequenz des Systems oder überdämpft).

Worüber ich mir noch Sorgen mache ist die$\frac{1}{2\sqrt{n_i}}$Term in der Phasenableitung: Wenn die Onsite-Dichte im Vergleich zu ihrem Nachbarn sehr gering ist, divergiert dieser Term. Das ist beispielsweise in der thermischen Wolke eines ultrakalten Gases in einer harmonischen Falle der Fall.

Gibt es eine Möglichkeit, das EoM einschließlich der Langevin-Terme in umzuwandeln?$\left(q,p\right)$-Vertretung bzw$\left(Re,Im\right)$-Vertretung, um dies zu vermeiden?