Zählung von Brownschen Teilchen: Punktprozess

Question

Zählung von Brownschen Teilchen: Punktprozess

Physik
Diffusion
Brownsche Bewegung
Punktteilchen
stochastische Prozesse

JorisH

Stellen Sie sich einen Punktprozess vor, der durch die Durchgangszeit von rein Brownschen Teilchen durch einen gegebenen Punkt (in 1D), Linie (2D) oder Ebene (3D) definiert ist. Ich interessiere mich für die Varianz der Zählungen (Anzahl der Partikel, die die Punkte passieren) als Funktion der Abtastzeit.

Im Gegensatz zur Brownschen Bewegung erwarte ich, dass mein Signal eine nicht verschwindende Korrelation aufweist, da ein Teilchen, das den Punkt gerade überquert hat, ihn mit hoher Wahrscheinlichkeit erneut überqueren wird. Daher sollte die Korrelation wie eine Dirac-Delta-Funktion (klassisch für diskrete Punktprozesse) plus einer abnehmenden Zeitfunktion aussehen.

Ich bin jedoch etwas verwirrt mit der Art und Weise, es analytisch zu berechnen. Ich suche in Bereichen der Photonenzählung, des Geigerzählers und der Gasdynamik, aber ich habe keine explizite Berechnung der Varianz gefunden.

Zwei Ideen, die ich hatte:

1/ Untersuchung der räumlich-zeitlichen Korrelationsfunktion eines Feldes von Brownschen Teilchen (siehe beispielsweise Gardiner, Stochastic Methods, Gl. 13.3.22):

$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-x^2/(4Dt)\right)$

in 1d. Wir hätten sollen: $Var(T)=\lim_{x\rightarrow 0} \int_T\int_T G(x,t) dt dt'$ . Der letzte Ausdruck ist jedoch schwer zu berechnen.

2/ Verwendung der Wahrscheinlichkeit der Rückkehrzeit zum Ursprung der Brownschen Bewegung (die Korrelation ergibt sich aus dem sukzessiven Durchgang desselben Teilchens)

Jede Idee oder Anregung wäre willkommen!

AJK

Modellieren Sie einen physikalischen Brownschen Prozess? Die Grenze der "reinen" Brownschen Bewegung (bei Vernachlässigung der Trägheit) könnte in Ihrem Fall problematisch sein, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen wiederkehrt, von der Geschwindigkeit abhängt, mit der es diesen Punkt überquert. Einige dieser Probleme tauchen in der Reaktionsratentheorie und Problemen mit der Zeit der ersten Passage auf – siehe „Reaktionsratentheorie: fünfzig Jahre nach Kramers“ in Rev. Mod. No. Phys.

JorisH

Ja, ich modelliere ein physisches BM. Tatsächlich ist es nicht einmal BM, da die Partikel in der Größenordnung von cm liegen. Dennoch kann ihre Verschiebung durch eine korrelierte Irrfahrt in Raum und Zeit gut beschrieben werden. Dies ist wahr, die Geschwindigkeitskorrelation ist kurzfristig ein Problem, ich werde Ihre Referenz durchsehen. Vielen Dank dafür!

Antworten (2)

Zählung von Brownschen Teilchen: Punktprozess

Modellieren Sie einen physikalischen Brownschen Prozess? Die Grenze der "reinen" Brownschen Bewegung (bei Vernachlässigung der Trägheit) könnte in Ihrem Fall problematisch sein, da die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen wiederkehrt, von der Geschwindigkeit abhängt, mit der es diesen Punkt überquert. Einige dieser Probleme tauchen in der Reaktionsratentheorie und Problemen mit der Zeit der ersten Passage auf – siehe „Reaktionsratentheorie: fünfzig Jahre nach Kramers“ in Rev. Mod. No. Phys.
Ja, ich modelliere ein physisches BM. Tatsächlich ist es nicht einmal BM, da die Partikel in der Größenordnung von cm liegen. Dennoch kann ihre Verschiebung durch eine korrelierte Irrfahrt in Raum und Zeit gut beschrieben werden. Dies ist wahr, die Geschwindigkeitskorrelation ist kurzfristig ein Problem, ich werde Ihre Referenz durchsehen. Vielen Dank dafür!

Tom-Tom · Answer 1

Die Größe, mit der Sie es zu tun haben, ist die Ortszeit der Brownschen Bewegung an einem Punkt. Es ist ziemlich schwierig, sinnvoll mit Ortszeiten umzugehen.

Was Sie berechnen möchten, ist die Verteilung der Menge

\begin{matrix} (1) & λ ({\vec{R}}_{0}) = \int_{0}^{T} δ^{(D)} ({\vec{R}}_{0} - {\vec{B}}_{u}) D u . \end{matrix}

$\lambda(\vec r_0)=\int_0^t\delta^{(d)}\left(\vec r_0-\vec B_u\right)\mathrm du.\tag{1}$ Beachten Sie, dass

λ

$\lambda$ ist eine räumliche Dichte der Zeit, sie hat Dimension von

[L^{- d} T]

$[L^{-d}T]$ , Wo

d

$d$ ist die räumliche Dimension.

Berechnen Sie zunächst die charakteristische Funktion der Brownschen Bewegung beginnend bei $\vec r=0$ , zum Zeitpunkt $t>0$

\begin{matrix} (2) & ϕ (\vec{Q}, T) = ⟨ \exp [ich \vec{Q} \cdot {\vec{B}}_{T}] ⟩ = \int e^{ich \vec{Q} \cdot \vec{R}} \frac{e^{- {\vec{R}}^{2} / 4 D T}}{{(4 π D T)}^{D / 2}} D \vec{R} = \frac{e^{- D T {\vec{Q}}^{2}}}{{(4 π D T)}^{D / 2}} . \end{matrix}

$\phi(\vec q,t)=\left\langle\exp\left[\mathrm i\vec q\cdot\vec B_t\right]\right\rangle= \int\mathrm e^{\mathrm i\vec q\cdot \vec r}\frac{\mathrm e^{-\vec r^2/4Dt}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}\mathrm d\vec r=\frac{\mathrm e^{-Dt\vec q^2}}{\left(4\pi Dt\right)^{d/2}}.\tag{2}$

Nun wandeln wir die Delta-Funktion in (1) dank der Gleichung (2) in ein Fourier-Integral um und berechnen den Durchschnitt von $\lambda(\vec r_0)$

⟨ λ ({\vec{R}}_{0}) ⟩ = ⟨ \int_{0}^{T} \int \frac{D \vec{Q}}{(2 π)^{D}} e^{- ich \vec{Q} \cdot ({\vec{R}}_{0} - {\vec{B}}_{u})} D u ⟩ = \int_{0}^{T} \int \frac{D \vec{Q}}{(2 π)^{D}} e^{- ich \vec{Q} \cdot {\vec{R}}_{0}} ϕ (\vec{Q}, u) D u .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\left\langle\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot(\vec r_0-\vec B_u)}\mathrm du\right\rangle =\int_0^t\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\mathrm du.$ Der Durchschnitt ist also

⟨ λ ({\vec{R}}_{0}) ⟩ = \int_{0}^{T} \frac{e^{- {\vec{R}}_{0}^{2} / 4 D u}}{{(4 π D u)}^{D / 2}} D u .

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle =\int_0^t\frac{\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Du}}{\left(4\pi Du\right)^{d/2}}\mathrm du.$

Für den Mittelwert gibt es exakte Ergebnisse in einer, zwei und drei Dimensionen.

In einer Dimension haben wir

⟨ λ ({\vec{R}}_{0}) ⟩ = \sqrt{\frac{T}{π D}} e^{- {\vec{R}}_{0}^{2} / 4 D T} - \frac{| {\vec{R}}_{0} |}{2 D} e R F C (\frac{| {\vec{R}}_{0} |}{2 \sqrt{D T}});

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\sqrt{\frac t{\pi D}}\mathrm e^{-\vec r_0^2/4Dt}-\frac{|\vec r_0|}{2D}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right);$

in zwei Dimensionen

⟨ λ ({\vec{R}}_{0}) ⟩ = \frac{1}{4 π D} Γ (0, \frac{{\vec{R}}_{0}^{2}}{4 D T})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac1{4\pi D}\Gamma\left(0,\frac{\vec r_0^2}{4Dt}\right)$ (

Γ

$\Gamma$ ist die unvollständige Gammafunktion) und in drei Dimensionen

⟨ λ ({\vec{R}}_{0}) ⟩ = \frac{1}{4 π D | {\vec{R}}_{0} |} e R F C (\frac{| {\vec{R}}_{0} |}{2 \sqrt{D T}})

$\left\langle\lambda(\vec r_0)\right\rangle=\frac{1}{4\pi D|\vec r_0|}\mathrm{erfc}\left(\frac{|\vec r_0|}{2\sqrt{Dt}}\right)$

Ich habe die gleiche Methode in einer kürzlich erschienenen Arbeit für eine Brownsche Brücke verwendet.

Berechnen $\left\langle\lambda(\vec r_0)^2\right\rangle$ Verwenden Sie dieselbe Berechnungstechnik (ebenfalls in der Veröffentlichung beschrieben). Sie müssen evaluieren

\int_{0}^{T} D u \int_{0}^{T - u} D u^{'} \int \frac{D \vec{Q}}{(2 π)^{D}} \frac{D {\vec{Q}}^{'}}{(2 π)^{D}} e^{- ich \vec{Q} \cdot {\vec{R}}_{0}} ϕ (\vec{Q}, u) ϕ ({\vec{Q}}^{'}, u^{'}) .

$\int_0^t\mathrm du\int_0^{t-u}\mathrm du'\int\frac{\mathrm d\vec q}{(2\pi)^d}\frac{\mathrm d\vec q'}{(2\pi)^d} \mathrm e^{-\mathrm i\vec q\cdot \vec r_0}\phi(\vec q,u)\phi(\vec q',u').$

Die gesuchte Verteilung ist jedoch nicht in Dimensionen größer als eins definiert: Es wird eine Regularisierungslänge benötigt. Dies ergibt sich aus den Eigenschaften der Brownschen Bewegung.

Im Fall des Browian (der in der Arbeit untersuchte Fall) ist die Verteilung nach der Regularisierung so, wie Sie gesagt haben: Es gibt a $\delta$ -Funktion plus eine abnehmende Funktion mit der Entfernung. In drei Dimensionen ist die abnehmende Funktion eine einfache Exponentialfunktion.

Trimok · Answer 2

Eine Möglichkeit ist vielleicht, den Wahrscheinlichkeitsfluss zu betrachten. Am Ursprung der Modellierung der Brownschen Bewegung oder Wärmegleichung steht eine Erhaltungsgleichung $\frac{\partial \rho}{\partial t} + div \vec j = 0$

Hier $\rho(x,t)$ muss als Wahrscheinlichkeitsdichte betrachtet werden und $\vec j(x,t)$ als Wahrscheinlichkeitsfluss.

Nehmen wir dann eine einfache Beziehung an $\vec j = - D\vec \nabla \rho$ , erhalten wir die übliche "Wärme"-Gleichung: $\frac{\partial \rho}{\partial t} - D \nabla^2 \rho = 0$ , mit dem Kernel $G(x,t)$ .

So $\vec j(x,t)$ könnte die Menge sein, an der Sie interessiert sind. Wenn dies der Fall ist, können Sie es mit den obigen Beziehungen einfach aus der Wahrscheinlichkeitsdichte erhalten $\rho(x,t)$

Danke für deinen Vorschlag Trimok! Ich fürchte, die Verwendung des makroskopischen Erhaltungsgesetzes und des Wahrscheinlichkeitsflusses hilft bei der Beschreibung mikroskopischer Schwankungen nicht so sehr (ich kann mich irren). Nehmen Sie die Varianz der Anzahl der Partikel in der Zellengröße $L$ ist Poissonsch für reine Diffusion (Mittelwert = Varianz), unabhängig von der Zellgröße. Dies kann leicht mit der Poisson-Darstellung (in Gardiners Buch) gezeigt werden. Ich versuche eine ähnliche Methode für die Varianz der zeitlichen Zählung von Partikeln, die ein Flugzeug passieren. Ich denke, dass es eine Form wie Var(T)=Mean annehmen sollte $+f(T)$ , Wo $f(T)$ kommt von Korrelationen

Zählung von Brownschen Teilchen: Punktprozess

JorisH

AJK

JorisH

Antworten (2)

Tom-Tom

Trimok

JorisH

Diffusionskoeffizient für asymmetrische (voreingenommene) Irrfahrt

Stochastischer Prozess, der fraktionierte Diffusion erzeugt

Fokker-Planck-Gleichung für überdämpfte Bewegung: Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

Diffusion 2D auf einer Oberfläche: Diffusionskoeffizient und Oberflächenreibung

Heuristik hinter der Dirac-Delta-Funktion in der Hauptgleichung für Wahrscheinlichkeit?

Ableitung der Diffusionsgleichung aus der Fokker-Planck-Gleichung

Unterschied zwischen "Zufallsbewegung" und "Brownsche Bewegung"?

Renormierung und Brownsche Bewegung

Weißes Rauschen und Fourier-Transformation

Wie fügt man Langevin-Begriffe zum halbklassischen Bose-Hubbard-Modell hinzu?