Stochastischer Prozess, der fraktionierte Diffusion erzeugt

Eine Möglichkeit, die Brownsche Bewegung zu erzeugen, ist wie folgt: Definieren Sie eine Wartezeit-Wahrscheinlichkeitsverteilung$\psi(t)$und Schrittlängenwahrscheinlichkeitsverteilung$\lambda(x)$. Verlange auch das$\langle \psi \rangle = \tau$,$\langle \lambda \rangle = 0$, Und$\langle \lambda^2 \rangle = \sigma^2$. Das heißt, die Wartezeitverteilung hat einen endlichen Mittelwert und die Schrittlänge ist symmetrisch um Null herum mit endlicher Varianz. Dann können wir eine Folge von Zeitschritten erzeugen$\delta t_i \sim \psi$, eine Folge von Schrittlängen$\delta x_i \sim \lambda$. Dann können wir die Trajektorie definieren$x(\sum^N \delta t_i) = \sum^N \delta x_i$.

Wenn man den Prozess simuliert, umfassen bequeme Auswahlmöglichkeiten$\psi(t) = \delta(t - \tau)$, Und$\lambda(x) = \frac{1}{2}( \delta(x - \sigma ) + \delta(x + \sigma ))$. Das heißt, Sie wählen in regelmäßigen Zeitintervallen mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus, ob sich das Teilchen nach links oder rechts bewegt. So weit, ist es gut.

Lassen Sie nun der Einfachheit halber die anomale Diffusion einen solchen Prozess sein$\langle \Delta x^2 (t) \rangle \propto t^\alpha$, für$0 < \alpha < 1$.

Um eine anomale Diffusion zu erzeugen, muss es sein, dass die mittlere Wartezeit divergiert$\langle \psi \rangle \to \infty$oder dass die Schrittlängenvarianz divergiert$\langle \lambda^2 \rangle \to \infty$oder, ich denke, möglicherweise beides. Ich kenne einen Weg, dies zu tun: Let$\langle \psi \rangle$haben eine Pareto-Verteilung$\psi(t) = \frac{\alpha \tau^\alpha}{t^{1+\alpha}}$für$t > \tau$, hat also einen divergierenden Mittelwert. Wir können dann jede auswählen$\lambda$mit endlicher Varianz, wie im vorigen Absatz.

Meine Frage ist, ob man das verlangen kann$\psi(t) = \delta(t - \tau)$und erhalten immer noch eine anomale Diffusion. Offensichtlich$\lambda$müsste eine divergierende Varianz haben, aber darüber hinaus habe ich keine Ahnung. Ich nehme an$\lambda(x_i)$könnte sogar von der Vorgeschichte abhängen. Das heißt, ich möchte Schritte in regelmäßigen Zeitabständen auswählen$\Delta t$ab einer bestimmten Distribution$\lambda$so dass die resultierenden Trajektorien eine anomale Diffusion aufweisen.