Fokker-Planck-Gleichung für überdämpfte Bewegung: Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

Betrachten Sie die Langevin-Gleichung im überdämpften Regime .

Wo$\boldsymbol{\eta}$ist der übliche Begriff für weißes Rauschen,$U$ein Potential für die Kraft und$\gamma$der Dämpfungskoeffizient (oder eine "Dämpfungsmatrix"). Hinweis: Dank der guten Referenz in der akzeptierten Antwort habe ich herausgefunden, wie ich die zugehörige Fokker-Planck-Gleichung für dieses System ableiten kann.

Angenommen, wir haben unsere Fokker-Planck- Gleichung für die Teilchenverteilung$P(\mathbf{x},t)$, ich stelle mir vor ( bin mir aber nicht sicher ), dass die Durchschnittsgeschwindigkeit der Teilchen gegeben ist durch

Beachten Sie, dass ich von der Durchschnittsgeschwindigkeit spreche: Die Geschwindigkeit eines einzelnen Teilchens ist für den überdämpften Fall nicht gut definiert (die Brownsche Bewegung ist nicht differenzierbar).

Jetzt ist hier mein Zweifel: at$t=0$wir könnten uns eine bestimmte aussuchen$P(\mathbf{x},0)$, finden$P(\mathbf{x},t)$mit dem Fokker Planck und rechnen$\langle \dot{\mathbf{x}}(t) \rangle$wie oben. Alternativ könnten wir Proben nehmen$M$unterschiedliche Anfangsbedingungen$\mathbf{x}_i(0)$aus$P(\mathbf{x},0)$, entwickeln sich jeweils$\mathbf{x}_i(t)$für$i=1...M$mit der Langevin-Gleichung und erhalten

Wenn dies richtig ist, welche Methode ist aus numerischer Sicht im Allgemeinen bequemer? Ich sehe einen großen Unterschied: Simulation einer einzelnen PDE (Fokker-Planck) und Durchführung einer integralen VS, die eine hohe Zahl simuliert$M$von ODEs (aber Durchführung einer einfachen Summe).

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