Diffusion 2D auf einer Oberfläche: Diffusionskoeffizient und Oberflächenreibung

Man muss einige Vorbehalte gegenüber den Annahmen haben, die bei der Erstellung eines solchen Modells gemacht werden. Ist diese mechanische Formel für die Gleitreibung zum Beispiel auf der Mikro- oder Mesoskala wahrscheinlich gültig? Befolgt der Widerstand der Flüssigkeit sehr nahe an der Oberfläche wahrscheinlich dasselbe Gesetz (proportional zur Geschwindigkeit) mit demselben Koeffizienten (Reibung oder Widerstand) wie in der Masse? Wird sich das Teilchen unter diesen Bedingungen einfach verschieben oder auch drehen?

Ich werde all diese Vorbehalte beiseite lassen (sowie die Tatsache, dass es sich um aktive Teilchen handelt) und das Problem in seiner elementarsten Form wiederholen. Das Diffusionsverhalten ergibt sich aus der Lösung der Langevin-Gleichung , die eine Widerstandskraft (proportional zur Geschwindigkeit,$-\zeta v$, mit einem Reibungskoeffizienten$\zeta$) und eine zufällige Kraft oder weißes Rauschen$R(t)$(deren statistische Eigenschaften sich beziehen$\zeta$). Daraus kann man schließen, dass die mittlere quadratische Verschiebung proportional zur Zeit ist$t$, wodurch ein Diffusionskoeffizient definiert wird$D=k_BT/\zeta$. Man kann auch eine äquivalente Fokker-Planck-Gleichung herleiten . Optional eine systematische externe Kraft$F_{\text{ext}}$Kann hinzugefügt werden.

Sie möchten dazu eine "Trockenreibungskraft" (manchmal als Coulomb-Reibung bezeichnet) hinzufügen, sodass die vollständige Langevin-Gleichung (der Einfachheit halber in einer Dimension) lautet:

$$m\frac{dv}{dt} = -\zeta v - F_{\text{friction}} \sigma(v) +F_{\text{ext}} +R(t) .$$ In der Verlängerung,$\sigma(v)$ist das Vorzeichen der Geschwindigkeit, und$F_{\text{friction}}$stellt die Größe dar, die in Ihrem Fall durch die Formel mit gegeben wäre$\mu_s$und ein auftriebskorrigiertes Partikelgewicht. Sie können einstellen$F_{\text{ext}}=0$, aber manchmal ist es hilfreich, die Mobilität des Teilchens zu diskutieren, indem man ihm erlaubt, einen konstanten Wert ungleich Null anzunehmen.

Die Lösung dieses Problems reduziert sich nicht unbedingt auf ein einfaches Diffusionsverhalten mit einem modifizierten Diffusionskoeffizienten, wie Sie gehofft haben. Es wurde jedoch in der Literatur behandelt. In einer seiner letzten Arbeiten, de Gennes J Stat Phys, 119, 953 (2005) , wurde ein Problem dieser Art analysiert, und es wurde auch von Hayakawa Physica D, 205, 48 (2005) behandelt , das Sie allgemein zugänglich finden als a Vordruck . Vor kurzem ist eine sehr detaillierte Analyse von Touchette et al. J Phys A, 43, 445002 (2010) erschienen , die auch als Preprint erhältlich ist.

Ich fühle mich nicht sachkundig genug, um diese ziemlich komplizierten Lösungen zu kommentieren, obwohl de Gennes einige Skalierungsregime identifiziert, in denen eine vereinfachte Beschreibung möglich erscheint. Hoffentlich finden Sie diese Literaturhinweise jedoch hilfreich bei der Lösung Ihres Problems.