Masseloses Brownsches Teilchen Langevin-Gleichung und FDT

Gegeben sei die Langevin-Gleichung eines masselosen Brownschen Teilchens:

$$\gamma \dot{x}=\eta,$$

Wo$\gamma$ist der Reibungskoeffizient und$\eta$der Lärm ($\langle\eta \rangle =0$Und$\langle\eta(t)\eta(s)\rangle=2k_BT\gamma\delta(t-s)$), möchte ich den Zusammenhang finden$C(t,s)=\langle x(t)x(s)\rangle$und die Antwortfunktion$G(t,s)=\langle \frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)} \rangle$.

Ich finde das, da$x(t)=\int_0^tv(s)ds$($x_0=0$der Einfachheit halber),

$$C(t,s)=\frac{1}{\gamma^2}\int_0^tdu\int_0^sdv\langle\eta(u)\eta(v)\rangle=\frac{1}{\gamma}\int_0^s\int_0^sdudv2k_BT\delta(u-v)=\frac{2k_BT}{\gamma}s,$$

wo ich überlegt habe$t>s$.

Ich finde auch aus der Langevin-Gleichung,

$$\frac{\delta}{\delta\eta(s)}\gamma\frac{\partial x(t)}{\partial t}=\frac{\delta\eta(t)}{\delta\eta(s)}=\delta(t-s),$$

Dann

$$\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta x(t)}{\delta\eta(s)}dt=\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{1}{\gamma}\delta(t-s)=\frac{1}{\gamma}$$

Und

$$\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^+}=\frac{1}{\gamma}\;\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;\;\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^-}=0\;\;\text{(by causality)}.$$

Daher wähle ich in der Diskontinuität den halben Wert für positiv$s$:$\frac{1}{2\gamma}$.

Dann

$$G(t,s)=\langle\frac{1}{2\gamma}\rangle=\frac{1}{2\gamma}.$$

Nun möchte ich den Fluktuations-Dissipations-Satz verifizieren, der in diesem Fall meines Erachtens lautet

$$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=k_BTG(t,s).$$

Offensichtlich ist das das Problem$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=\frac{2k_BT}{\gamma}$, während$k_BTG(t,s)=\frac{k_BT}{2\gamma}$.

Mache ich etwas falsch? Ist das nicht seltsam$C(t,s)$hängt nicht davon ab$t$? Sollte das Fluktuationsdissipationstheorem nicht erfüllt sein?