wie man eine steile Potentialbarriere in der Langevin-Gleichung simuliert

Wie wird bei der Simulation einer Langevin-Gleichung mit einer vertikalen Potentialbarriere umgegangen?

Ich habe die Zeitentwicklung der Position überdämpft X , beschrieben von

γ D X D T = − v ' ( X ) + η ( T )

Wo v ( X ) ist das Potenzial, γ die Schleppe und η ( T ) das thermische Rauschen. Wenn ich eine bestimmte Trajektorie simulieren möchte, diskretisiere ich die Zeit in kleinen endlichen Schritten Δ T , und ich verwende einfach Iterationen mit

X ich = X ich − 1 − 1 γ v ' ( X ich − 1 ) Δ T + 2 D Δ T η ich

Wo D = K B T / γ ist der Diffusionskoeffizient, und η ich eine Zufallszahl.

Nun stellen Sie sich vor v ( X ) hat eine unendlich hohe Barriere, deren Neigung eingestellt (und vertikal gemacht) werden kann. Ich habe mich gefragt: Wenn das Teilchen zufällig auf die Barriere trifft, dort der Wert der Ableitung v ' kann unendlich groß werden. In der Simulation bedeutet dies das X ich kann durch den Begriff ernsthaft "weggekickt" werden − v ' ( X ich − 1 ) . Es scheint unkörperlich.

Ich denke, die Reduzierung Δ T used hilft, aber gibt es eine Standardmethode, um damit umzugehen? Oder lassen sich zu viele vertikale Barrieren nicht simulieren?

Benutzt du sowas wie v ∝ T A N H ( X ) ? Wenn nicht, ist dies möglicherweise der richtige Weg, da Sie Ihren Gradienten "abstimmen" können, aber dennoch verhindern können, dass er divergiert. Sie können die Wellenlösungen auch für Wellenbohrungen verwenden, um eine Steilwand anzunähern v ( X ) , aber diese haben nachgeschaltete Oszillationen, die Sie vielleicht nicht wollen ...
@honeste_vivere: Ich benutze nicht T A N H ( X ) insbesondere, aber ja, ich habe ein "tunable" v ' ( X ) die ich am Auseinanderlaufen hindern kann. Trotzdem frage ich mich, wie ich mit dem Problem einer zu steilen Steigung umgehen soll.
Wenn Sie die analytische/funktionale Form für V(x) kennen, sollten Sie in der Lage sein zu bestimmen, ob sich die Gradientenskalenlänge der Gitterzellengröße Ihres numerischen Lösungsschemas nähert, richtig? Wenn Sie dies in Mathematica tun, hat diese Software mehrere Optionen, NDSolvedie mit diesem Problem umgehen und divergierende Ergebnisse verhindern können (solange Sie ein Mathematica-Flüsterer sind ) ...
@fpdx "Stellen Sie sich nun vor, V (x) hat eine unendlich hohe Barriere, deren Neigung eingestellt (und vertikal gemacht) werden kann." stimmt nicht was du meinst? Ich denke, Sie meinten "unendlich steile Barriere", sonst sollte die Antwort von Tom-Tom Ihr Problem lösen.

Antworten (2)

Eine unendliche Potentialbarriere spiegelt die Tatsache wider, dass das Teilchen nicht in einen bestimmten Raumbereich eindringen kann. Das Lösen der Langevin-Gleichung mit einer solchen Barriere bedeutet, dass Sie einen Weg finden müssen, um festzustellen, dass das Teilchen nicht in den Bereich eindringen kann, aber Sie müssen auch beschreiben, was an der Grenze passiert, da mehrere Szenarien möglich sind:

  1. das Teilchen stoppt, wenn es die Grenze erreicht (Absorption)

  2. Das Teilchen wird an der Grenze mit entgegengesetzter Geschwindigkeit reflektiert

  3. das Teilchen stoppt während einer Wartezeit τ (bestimmt oder zufällig), bevor Sie sich zurückbewegen

  4. das Teilchen wird mit einer Geschwindigkeitsänderung reflektiert δ v

  5. das Partikel folgt jedem Szenario 1.-4. mit gewissen Wahrscheinlichkeiten

Das Verhalten an der Grenze ist extrem wichtig.

Wenn Sie eine numerische Simulation ausführen

  1. ist einfach mit einem Positionstest zu codieren

  2. kann leicht in einer Dimension nachgeahmt werden, indem die Domäne erweitert und gefaltet wird. Zum Beispiel, wenn Sie eine Barriere an haben X = 0 , erweitern Sie die Domäne auf R und addieren Sie dann die Anwesenheitswahrscheinlichkeiten bei X Und − X . Die Geschwindigkeitsverteilung erhält man natürlich durch Subtraktion.

  3. erhält man durch Addition der Wartezeit τ zur Simulationszeit mit dem Scenario 2. Trick.

  4. verwendet auch Szenario 2. Trick, die Geschwindigkeit wird beim Überqueren der Grenze wie in Szenario 3 modifiziert.

  5. ist auch ziemlich einfach in einer numerischen Simulation unter Verwendung der obigen Techniken zu codieren.

Ich hoffe, es hilft!

Hier ist vielleicht keine vollständige Antwort, aber es kann Ihnen (und mir) einige Hinweise und vielleicht eine alternative Lösung geben.

  1. Das Euler-Schema sollte nicht funktionieren, selbst für die deterministische Gleichung, bei der das Rauschen auf Null gesetzt wird. Dies liegt daran, dass man in Eulers Schema immer verlangt Δ T klein, damit die Δ X ist klein. Wenn Δ X groß ist, stößt man auf die numerische Instabilität der Lösung. Dieses Problem ist für ODEs bekannt (siehe z. B. Numerical Recipes, Abschnitt „Stiff systems“).

  2. Ich denke, eine Möglichkeit, dies zu vermeiden, ist die Verwendung einer diskretisierten Raumsimulation. Hier zerlegen Sie den Raum in diskrete Schritte und simulieren den diskreten Markov-Prozess mit Übergangsraten zwischen benachbarten Standorten proportional zum Potentialunterschied zwischen den Standorten.

  3. Eine weitere Option ist die Verwendung einer unterdämpften Simulation. Beachten Sie, dass das Problem auftritt, weil Ihre überdämpfte Gleichung erster Ordnung ist. [Mir ist nicht klar, dass eine überdämpfte Approximation für eine so unendlich starke Kraft gültig ist; obwohl die überdämpfte Gleichung mathematisch gut definiert zu sein scheint.] Für die unterdämpfte Gleichung können Sie simulieren Δ X reibungslos, während Δ v springt immer dann, wenn das Teilchen die Stufe des Potentials überschreitet.

Danke. Zu Ihrem Punkt 1: In dieser Antwort soll Eulers Schema das beste sein.
Zu Ihrem Punkt 3: Bei der Simulation geht es um die Bewegung eines Partikels im Mikrometermaßstab in Wasser (mit einem abstimmbaren externen Potential). Überdämpfung kommt von der Reynoldszahl von ~1e-5.
Zu deinem Punkt 2: interessant. Haben Sie einen Hinweis, den ich überprüfen kann?
@fpdx 1. Euler ist besser als Runge-Kutta und dergleichen (nicht das Beste). Es funktioniert gut, wenn Δ T ist klein. Angenommen, Sie lösen X ' = F ( X ) . Anschließend aktualisierst du X N + 1 = X N + F ( X N ) Δ T vorausgesetzt, dass F ( X N ) Δ T ist klein. Allerdings in deinem Fall F ( X ) Δ T ist niemals klein, sondern unendlich. Schlimmer wenn F ( X ) konzentriert sich auf einen kleinen Bereich (Delta-Funktion): In Ihrer Simulation werden Sie das nie haben X N genau an der Delta-Funktion. Daher sieht Ihre Simulation effektiv kein Schrittpotential.
2. Nein, habe ich nicht. Es basiert vielmehr auf körperlicher Intuition; Deshalb sage ich, es war keine vollständige Antwort. Sicherlich ergibt es die richtige Dynamik, wenn das Teilchen von der Stufe entfernt ist (weil es einfach die Brownsche Bewegung ist) sowie die stationäre Verteilung (weil es das gleiche detaillierte Gleichgewicht erfüllt). Bei der Dynamik nahe der Barriere weiß ich nicht, ob sie 100%ig stimmt oder man die Übergangsraten klüger wählen muss als die von Glauber.
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