Beziehung zwischen Master-, Fokker-Planck-, Langevin-, Kramers-Moyal- und Boltzmann-Gleichungen

  1. Ich suche die Beziehung zwischen vier wichtigen Gleichungen, die wir in stochastischen Prozessen in der Physik untersuchen. Diese Gleichungen umfassen Master, Fokker-Planck, Langevin, Kramers-Moyal und Boltzmann.

  2. Ich möchte auch wissen, wann wir jeden von ihnen verwenden können?

  3. Mit anderen Worten, was sind die jeweiligen Randbedingungen oder Einschränkungen?

  4. Stellen Sie irgendein Papier oder Buch darüber vor?

Da ich vor kurzem mit dem Studium des stochastischen Feldes in der Physik begonnen habe, hoffe ich, dass Sie mir helfen können, Antworten auf meine Fragen zu finden.

Antworten (1)

Diese Frage ist etwas zu groß, ganze Lehrbücher wurden geschrieben, um sie zu beantworten. Ein Standardwerk ist van Kampen, Stochastische Prozesse in Physik und Chemie.

Grob gesagt für einen Markov-Prozess

Hauptgleichung -> Kramers-Moyal-Entwicklung -> Fokker-Planck-Gleichung

wobei die Hauptgleichung die mikroskopische Wahrscheinlichkeitsregel für Übergänge in einem Konfigurationsraum angibt und die Fokker-Planck-Gleichung die entsprechende Gleichung für Einzelteilchenwahrscheinlichkeiten ist.

Die Langevin-Gleichung ist eine einfache stochastische Modellgleichung, die entwickelt wurde, um dieselbe FP-Gleichung wie die Master-Gleichung zu ergeben. Die Boltzmann-Gleichung lebt in einem größeren Raum (Phasenraum) und ist nicht stochastisch, sondern ist wiederum so konzipiert, dass linearisierter Boltzmann äquivalent zu FP ist.

[Das klingt, als wäre die Boltzmann-Gleichung nur eine Art Modellgleichung. Das ist nicht richtig. Es gibt einen separaten Weg zur Boltzmann-Gleichung, ausgehend von der klassischen Liouville- oder Quanten-von-Neumann- oder Quanten-Kadanoff-Baym-Gleichung.]

Danke für deine Antwort, lieber Thomas. Ich werde Ihr vorgeschlagenes Buch studieren. Was ich Ihrer Antwort entnehme, ist Folgendes: Wir haben zwei Ausgangspunkte: die Hauptgleichung, die eine verallgemeinerte Fokker-Planck-Gleichung ist und einen stochastischen Ansatz hat, und die Boltzmann-Gleichung, die einen deterministischen Ansatz hat. Ist das wahr? Unter welchen Annäherungen oder Bedingungen können wir von boltzmann eq zu fokker planck eq oder umgekehrt gelangen? Ist das möglich?
1) Ich würde die Hauptgleichung nicht als verallgemeinerte FP-Gleichung bezeichnen. Die Hauptgleichung ist stochastisch, während FP es nicht ist. Ich würde master->FP als den üblichen Übergang von mikroskopischen zu makroskopischen Gleichungen ansehen. 2) Das BE ist zwar deterministisch (wie FP), enthält aber (wie die Master-Gleichung) mehr Information. Sie können FP von linearisiertem BE ableiten, aber nicht umgekehrt.
Danke für deine Freundlichkeit. Ich habe ein bisschen verwirrt! 1- Welche Annäherungen sollten wir auf den Master-Eq anwenden, um den Fokker-Planck-Eq zu erhalten? Mit anderen Worten, unter welchen Bedingungen können wir fokker-planck eq anstelle von master eq verwenden. das ist meine wichtigste frage? 2- ist Kramers-Moyal eine verallgemeinerte Form von Fokker-Planck? 3-Wenn der Fokker Planck eine Übergangsform ist, was ist dann die endgültige Gleichung für die Behandlung des makroskopischen Zustands? 4- Was sind die Muttergleichungen zur Behandlung stochastischer Prozesse in der Physik?
1) Die Kramers-Moyal-Erweiterung kann verwendet werden, um FP von Master Equ abzuleiten. 2) Kramers-Moyal liefert eine Hierarchie von FP-artigen Gleichungen. „Die“ FP-Gleichung für die Einzelteilchenwahrscheinlichkeit ist die erste in dieser Hierarchie. 3) FP ist bereits eine makroskopische Gleichung. Sie können etwas makroskopischer werden, indem Sie eine hydrodynamische Gleichung wie die Diffusionsgleichung verwenden. 4) Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Ausgangspunkt ist auf Wunsch das Standardmodell der Teilchenphysik. alles andere folgt.
vielen Dank. Bitte sagen Sie mir, für welche physikalischen Prozesse wir jede dieser Gleichungen verwenden können (nämlich Boltzmann, Fokker-Planck usw.) und bei welchen Prozessen wir sie nicht verwenden können.
Beziehung zwischen Master-, Fokker-Planck-, Langevin-, Kramers-Moyal- und Boltzmann-Gleichungen
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