Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung, in 1D oder anders

Die eindimensionale Maxwell-Verteilung für die$i-$Komponente des Geschwindigkeitsvektors ist

$$f_{1D }(v_i) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \exp\left(-\frac{m v_i^2}{2kT} \right)$$

Lassen wir die fallen$i$Und$1D$der Einfachheit halber tiefgestellt. Sie suchen nach dem Durchschnitt des absoluten Werts von$v$,$|v|$. Finden$\langle |v| \rangle$, müssen wir die Integration durchführen

$$\int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$

Nun, da$f(v)$hängt nur vom Quadrat ab$v$und wir sind in einer Dimension,$f(|v|) d|v| = f(v) d v$und wir haben

$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} |v| \exp\left(-\frac{m |v|^2}{2kT} \right) \ d |v|$$

Da der Absolutwert vorhanden ist, ist dies gleich (ändern wir die Schreibweise zur Verdeutlichung,$|v|=u$)

$$2 \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} u \exp\left(-\frac{m u^2}{2kT} \right) \ d u$$

Das Integral lässt sich leicht durch Teilen lösen und ergibt$\frac{kT}{m}$, so dass:

$$\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1/2} \left(\frac{2 kT}{m}\right)$$

Vereinfachend erhalten wir:

$$\langle |v| \rangle = \left( \frac{2kT}{\pi m} \right)^{1/2}$$

KED :-)

PS Beachten Sie, dass der Durchschnitt von$v_i$(ohne absoluten Wert) wäre$0$für Symmetrie. Zur Klarheit:

$$\langle v \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} v \ f(v) \ d v = 0$$

$$\sqrt{\langle v \rangle^2} = v_{rms} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} v^2 \ f(v) \ d v }$$

$$\langle {|v|} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} |v| \ f(v) \ d v$$

Die Definition von$v_{avg}$für 3 Dimension ist

$$v_{avg}=\int_0^\infty |v|f(v)dv$$ Das muss allerdings klar sein $$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$$

Für 3D kann die Verteilung von der 1D-Verteilung abgeleitet werden, jedoch etwas anders.

$$f_{3D}(v) = \left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT} \right)$$

Nach einer ähnlichen Integration wie oben können Sie das gleiche Ergebnis wie in Ihrem Beitrag erhalten.

Der 3D-Durchschnitt ist nicht einfach, aber Sie müssen eine Definition durchlaufen, die im Allgemeinen mit dem übereinstimmt, was wir im täglichen Leben tun.