Feynmans Entwicklung des idealen Gasgesetzes verstehen: Band I 39-2 von The Feynman Lectures on Physics

In The Feynman Lectures on Physics, Volume I 39-2 The pressure of a gas wird Folgendes dargestellt:

Wenn$v$ist die Geschwindigkeit eines Atoms, und$v_{x}$ist der$x$-Bestandteil von$v$, Dann$mv_{x}$ist der$x$-Komponente des Impulses in ; aber wir haben auch eine gleiche Impulskomponente 0ut und so ist der Gesamtimpuls, der von dem Teilchen bei einem Stoß an den Kolben abgegeben wird$2mv_{x}$, weil es "reflektiert" wird.

Jetzt brauchen wir die Anzahl der Kollisionen, die die Atome in einer Sekunde oder in einer bestimmten Zeit machen$dt;$dann dividieren wir durch$dt$. Wie viele Atome treffen? Nehmen wir an, es gibt sie$N$Atome im Volumen$V$, oder$n=N/V$in jeder Volumeneinheit. Um herauszufinden, wie viele Atome auf den Kolben treffen, notieren wir dies für eine bestimmte Zeit$t$, wenn ein Teilchen eine bestimmte Geschwindigkeit in Richtung des Kolbens hat, wird es während der Zeit auftreffen$t$, vorausgesetzt, es ist nah genug. Wenn es zu weit weg ist, geht es in der Zeit nur teilweise auf den Kolben zu$t$, erreicht aber den Kolben nicht. Daher ist es klar, dass nur diejenigen Moleküle, die sich in einer Entfernung befinden$v_{x}t$vom Kolben werden den Kolben in der Zeit treffen$t$. Also die Anzahl der Kollisionen in einer Zeit$t$ist gleich der Anzahl der Atome, die sich innerhalb einer Entfernung in der Region befinden$v_{x}t,$und da ist die fläche des kolbens$A,$das Volumen , das von den Atomen eingenommen wird, die auf den Kolben treffen werden$v_{x}tA$. Aber die Anzahl der Atome, die auf den Kolben treffen werden, ist das Volumen mal der Anzahl der Atome pro Volumeneinheit,$nv_{x}tA.$Natürlich wollen wir nicht die Zahl, die in einer Zeit getroffen wird$t$, wir wollen die Zahl, die pro Sekunde getroffen wird, also dividieren wir durch die Zeit$t$, zu bekommen$nv_{x}A$. (Diesmal$t$könnte sehr kurz gemacht werden; Wenn wir das Gefühl haben, eleganter sein zu wollen, nennen wir es$dt,$dann differenzieren, aber es ist dasselbe.)

Wir finden also, dass die Kraft ist

$$F=nv_{x}A\times2mv_{x}.\,\,\,(39.3)$$

Sehen Sie, die Kraft ist proportional zur Fläche, wenn wir die Teilchendichte festhalten, während wir die Fläche ändern! Der Druck ist dann

$$P=2nmv_{x}^{2}.\,\,\,(39.4)$$

Nun stellen wir bei dieser Analyse ein kleines Problem fest: Erstens haben nicht alle Moleküle die gleiche Geschwindigkeit, und sie bewegen sich nicht in die gleiche Richtung. Also, alle$v_{x}^{2}$ist anders! Was wir also tun müssen, ist natürlich, einen Durchschnitt zu nehmen$v_{x}^{2}$'s, da jeder seinen eigenen Beitrag leistet. Was wir wollen, ist das Quadrat von$v_{x}$, gemittelt über alle Moleküle:

$$P=nm\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle .\,\,\,(39.5)$$

Haben wir den Faktor 2 vergessen? NEIN; Von allen Atomen bewegt sich nur die Hälfte auf den Kolben zu. Die andere Hälfte geht in die andere Richtung, also nur die Anzahl der Atome pro Volumeneinheit, die auf den Kolben treffen$n/2$.

Während ich das Ergebnis akzeptiere, verstehe ich seine Entwicklung nicht. Was ist insbesondere mit „Lautstärke“ gemeint?$v_{x}tA$? Dieser Band wird mit der stillschweigenden (und falschen) Annahme eingeleitet, dass alle$v_{x}$'s sind gleich. Eine Vermutung, die anschließend verworfen wird. Aber die Bedeutung von$v_{x}tA$in Bezug auf das verfeinerte Verständnis von$v_{x}$dass es für jedes Atom spezifisch ist, wird nie deutlich gemacht.

Einführung in die Notation$\Delta V_{x}=v_{x}tA;$Ich habe keine Möglichkeit gefunden, zu dem beworbenen Ergebnis zu kommen$\left(39.5\right)$mit der Hälfte des Durchschnitts$x$-Komponente der Geschwindigkeit, um den richtigen Wert zu ermitteln$\Delta V_{x}$. Zum Beispiel:

Das Ergebnis$\left(39.5\right)$kann durch eine alternative Entwicklung festgestellt werden, die die Anzahl der Kollisionen pro Zeiteinheit bestimmt, indem die Anzahl der Male berücksichtigt wird, die ein bestimmtes Teilchen durchquert$x$-Dimension einer Box von Einheitsvolumen zur anderen Seite und dann zurück in einer Zeit$t$. Mich interessiert aber, ob Feynmans Ansatz nachvollziehbar ist.

Unter der Annahme, dass der Wert$v_{x}$ist für jedes Atom spezifisch, welches Volumen, entsprechend dem Obigen,$\Delta V_{x}=v_{x}tA$, sollte verwendet werden, um die Anzahl der Stöße pro Zeiteinheit von Gasatomen mit dem Kolben zu bestimmen?