Warum/Wie gilt PV=kPV=kPV=k in einem idealen Gas?

Also, ich bin ziemlich noob, wenn es um Physik oder Mathematik geht, aber dieses Ding kam mir in den Sinn.

Wir haben unsere ideale Gasgleichung: P v = N R T . Also bei konstanter Temperatur und Partikelmenge P v = k . So P ∼ 1 / v . Was sonst ist direkt proportional zu P ?

Nun, eine über die Oberfläche des Behälters: P ∼ 1 / A . So P ∼ 1 / v ∼ 1 / A . Die Fläche des Behälters ist dann also direkt proportional zum Volumen des Behälters A ∼ v . Das ist also wahrscheinlich im Allgemeinen nicht der Fall, aber selbst für eine Kugel können wir sehen, dass dies nicht der Fall ist, da sich die Proportionalitätskonstante mit dem Radius ändert: v = R / 3 ∗ A , für einen gegebenen Radius R .

Angesichts dessen, dass dies alles Sinn macht, frage ich mich: Wie kann P ∼ 1 / v ?

„Also ist die Fläche des Behälters dann direkt proportional zum Volumen des Behälters A ~ V. Das ist also wahrscheinlich im Allgemeinen nicht der Fall, aber selbst für eine Kugel können wir sehen, dass dies nicht der Fall ist, als Konstante der Proportionalität Chancen mit dem Radius: V = r/3 * A, bei gegebenem Radius r.' Das klingt wie das genaue Gegenteil
Der Name des Themas, das diese Frage beantwortet, ist "die kinetische Theorie der Gase" , und es ist eines der schönsten Ergebnisse der Physik, das nur mit einer einführenden Vorbereitung zugänglich ist.

Antworten (3)

Es gibt wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten, sich dem zu nähern, aber ich denke, ein schöner einfacher Weg besteht darin, den mikroskopischen Mechanismus zu betrachten, der Druck erzeugt.

Stellen Sie sich einen kugelförmigen Behälter mit einem gewissen Radius vor R mit nur einem Gasteilchen darin. Unser Gasteilchen hat eine Masse M und eine Geschwindigkeit v .

Druck

Wenn das Gasteilchen auf die Wände des Gefäßes trifft und zurückprallt, übt es eine Kraft auf die Wände des Gefäßes aus. Das ist genauso, als würde ich einen schweren Gegenstand auf dich werfen, sodass der Gegenstand eine Kraft auf dich ausübt, wenn er dich trifft. Um diese Kraft zu berechnen, müssen Sie wissen, dass die Kraft dasselbe ist wie die Änderungsrate des Impulses .

Bei jedem Stoß ändert sich die Teilchengeschwindigkeit ab v Zu − v , also ändert sich der Impuls ab M v Zu − M v , also ist die Impulsänderung Δ P = 2 M v .

Die Zeit, die das Teilchen braucht, um die Kugel zu durchqueren, ist τ = 2 R / v , also die Anzahl der Kollisionen pro Sekunde F = 1 / τ = v / 2 R .

Und die Impulsänderungsrate, dh die Kraft, ist einfach die Impulsänderung pro Stoß Δ P mal die Anzahl der Kollisionen pro Sekunde F :

F = Δ P F = 2 M v v 2 R = M v 2 R

Und schließlich ist Druck Kraft pro Flächeneinheit und die Fläche der Kugel ist 4 π R 2 , so dass wir am Ende die Gleichung für den Druck erhalten:

(1) P = F A = M v 2 4 π R 3

Jetzt haben Sie gefragt, warum der Druck umgekehrt proportional zum Volumen ist? Nun, das Volumen einer Kugel ist:

v = 4 3 π R 3

Und wir können dies in unsere Gleichung (1) einsetzen, um zu erhalten:

(2) P = F A = M v 2 3 v

Das finden wir also P ∝ 1 / v .

Wenn Sie interessiert sind, können wir es besser machen, denn die Gleichverteilung der Energie sagt aus, dass die kinetische Energie des Teilchens bei einer Temperatur ist T wird ungefähr sein 3 2 k T . Also bekommen wir:

1 2 M v 2 = 3 2 k T

und wir können diesen Ersatz für verwenden M v 2 in Gleichung (2), um zu erhalten:

(3) P = k T v

Wir haben also auch das Gesetz von Guy-Lussac P ∝ T .

Und es gibt einen letzten Schritt. All dies war für nur ein Teilchen. Wenn wir ein Mol Gas haben, dann das N A Teilchen, wo N A ist die Zahl von Avagadro . Jedes Teilchen trägt die gleiche Impulsänderung bei, also ist die Gesamtkraft von all diesen Teilchen einfach:

P = N A k T v

Und das Produkt N A k ist nur die ideale Gaskonstante R Unsere letzte Gleichung lautet also:

P = R T v

die Sie sofort als ideales Gasgesetz erkennen sollten .

Nun habe ich ziemlich schnell und locker mit dieser Ableitung gespielt und es gab allerlei Einwände. Zum Beispiel haben die Gasmoleküle unterschiedliche Geschwindigkeiten und sie treffen nicht alle direkt auf die Wände. Der Geist der Ableitung ist jedoch in Ordnung, auch wenn die Details es nicht sind, und hoffentlich hilft dies zu erklären, warum das ideale Gasgesetz genau die Form hat, die es hat.

Das ist ziemlich nett, aber ich bin immer noch verwirrt über mein Denken: Für ein gegebenes P, n und T habe ich P = knT, richtig? Da die Temperatur als durchschnittliche kinetische Energie angesehen werden kann, wäre sie direkt proportional zum Impuls und je mehr Teilchen je mehr Impuls und Kollisionen haben. Wenn ich dann die Oberfläche mit x multiplizieren würde, würde mein P x-mal kleiner werden. P ~ 1/A Also könnte ich einfach dasselbe schreiben wie P=(k2*n T)/A, richtig? Nun die gleiche Situation, aber ich nehme an P ~ 1/VP=knT P=(R n*T)/V Bedeutet dies nicht, dass V~A, was nicht wahr ist.
Könnte das auch irgendwie auf jedes Volumen verallgemeinert werden, nicht nur auf eine Kugel.
@LuBu: Temperatur ist proportional zu v 2 und Impuls ist proportional zu v , also ist die Temperatur nicht proportional zum Impuls.
Oh ja, heißt das also, dass wir so etwas wie P=nkT nicht sagen können?
@LuBu: davon ausgegangen N ist dann die Anzahl der Moleküle P = N k T / v
Wir müssen also den V-Anteil hinzufügen und können ohne ihn keine direkte Proportionalität P=nkT angeben?
@LuBu: Ja, das ist richtig.
Ich denke, das beantwortet dann meine Frage / Verwirrung. Auch das, was Sie oben gemacht haben, wissen Sie, ob es für jede Form gemacht werden könnte. Sie werden nicht darum gebeten, sondern nur, wenn es möglich ist
@LuBu: Ja, man könnte das Argument auf jede Form anwenden, zB einen Würfel, oder mit etwas Aufwand auf eine weniger symmetrische Form. Aber Sie müssen beachten, dass dies ein konzeptionelles Argument ist, kein rigoroser Beweis, daher ist die genaue Form der Box ein wenig ablenkend.
Festhalten. Wenn P ~ T und P ~ n Sollten wir nicht in der Lage sein, eine Gleichung zu schreiben: P = nkT, wobei k nur eine Konstante ist.
@LuBu: P ∝ T nur für konstant N Und v . P ∝ N nur für konstant T Und v . Ja, du kannst eine Gleichung schreiben P = A T für einige Parameter A , Aber A wird eine Funktion von sein v Und N es ist also nur eine Konstante wenn v Und N sind konstant.

In 1/A haben Sie festes F und 1/V festes n und T angenommen. Sie können nicht beides tun.

Denken wir also darüber nach, was Sie entdeckt haben, denn es ist offensichtlich nicht so einfach wie "die Oberfläche muss proportional zum Volumen sein", und das ist ein guter Hinweis darauf, dass Sie es irgendwo zu stark vereinfacht haben. Wir haben also in Worten festgestellt, dass, wenn wir die Größe einer Kugel vergrößern, indem wir eine dünne Oberfläche der Breite hinzufügen D R Wir erhöhen die Lautstärke um A   D R und dadurch verrichtet das von dieser Kugel begrenzte Gas eine Arbeit P   A   D R was wir wissen geht wie

N R T 4 π R 3 / 3   4 π R 2   D R = 3 N R T D R R .
Tatsächlich haben wir eine Familie verschiedener Möglichkeiten entdeckt, das Objekt zu komprimieren, je nachdem, wie Sie variieren T ( R ) , wenn Sie es konstant halten (isotherme Kompression), dann divergiert die Energie zum Komprimieren des Dings logarithmisch.

Warum/Wie gilt PV=kPV=kPV=k in einem idealen Gas?
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