Die Form des Kastens in der kinetischen Gastheorie

Manche Leute mögen es so ableiten, aber Wände und Kiste haben wirklich nichts damit zu tun. Physik ist lokal; wenn ich etwas über den Druck, die Temperatur usw. eines 1 cm wissen möchte$^3$Luft in der Mitte eines Flugzeughangars, die Kollisionen von Molekülen gegen die viele Meter entfernten Hangarwände haben einfach nichts damit zu tun.

Ich bin eigentlich nicht allzu vertraut mit Ableitungen, die sich bei der Ableitung dieses Ergebnisses auf eine kubische Box beziehen; Ich glaube, ich habe das öfter gesehen, wenn Leute den Druck als Funktion der Anzahldichte und der Durchschnittsgeschwindigkeit ableiten. Wenn Sie das tun wollten, ohne auf Kollisionen gegen die Wand der Box zu verweisen, erkennen Sie einfach Druck als Impulsfluss durch eine Oberfläche, definieren Sie eine Oberfläche irgendwo in der Mitte der Luft und zählen Sie, wie viele Teilchen sich pro Einheit durch sie hindurchbewegen Zeit und ihre mittlere Geschwindigkeit normal zur Oberfläche (und damit wie viel Impuls sie pro Zeiteinheit tragen). Dieser Impuls pro Zeiteinheit kann den Druck definieren (der Impuls pro Zeiteinheit pro Flächeneinheit ist).

Um den Zusammenhang zwischen mittlerer kinetischer Energie und Temperatur zu erhalten, fällt mir zunächst ein, die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für die Geschwindigkeiten als Funktion der Temperatur abzuleiten. Dies ist genau die Verteilung, die die Entropie der Luftmoleküle für eine feste Energie maximiert.

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung gibt Ihnen eine Wahrscheinlichkeitsdichte$P(v)$für die Geschwindigkeit,$v$, der Teilchen. Sie können die mittlere kinetische Energie mit berechnen$\frac12 m \int_0^\infty v^2 P(v)$, und es wird proportional zur Temperatur sein. Diese ganze Argumentation hat nichts mit irgendwelchen kubischen Behältern zu tun.

Wenn Sie nur wissen wollen, ob in einem Streit um Kollisionen mit Containerwänden die Form des Containers wichtig ist, lautet die Antwort, dass dies nicht der Fall ist.

Angenommen, wir haben einen Container. Vergrößern Sie einen sehr kleinen Teil des Bereichs$\mathrm{d}A$mit Seiten, die viel kleiner als der Krümmungsradius des Kastens dort sind (obwohl immer noch viel größer als der Abstand zwischen Molekülen), so dass der Fleck als flach betrachtet werden kann. Beobachten Sie den Patch für eine kurze Zeit$\mathrm{d}t$. Dann ist der auf den Teil der Wand übertragene Impuls die Anzahl der Kollisionen multipliziert mit dem pro Stoß übertragenen mittleren Impuls. Die Anzahl der Kollisionen ist einfach die Anzahl der Moleküle, die nahe genug an der Wand waren, um sie in dieser kurzen Zeit zu treffen, oder$\frac12 n \mathrm{d}A \bar{v}_x \mathrm{d}t$Wo$n$ist die Anzahldichte von Molekülen und$\bar{v}_x$ist die mittlere Geschwindigkeit in Richtung senkrecht zur Wand. Der Bruchteil$\frac12$ist da, weil nur die Hälfte der Moleküle zur Wand geleitet wird. (Technisch gesehen sollten wir ein Integral über die Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten machen, aber es stellt sich heraus, dass dies das Ergebnis nicht beeinflusst; die Verwendung des Durchschnitts ist in Ordnung.) Jedes Molekül verleiht einen durchschnittlichen Impuls von$2 m v_x$an der Wand, mit$m$die Masse der Moleküle und die Annahme elastischer Stöße. Der Impuls, der der Wand verliehen wird, ist also$n m \mathrm{d}A \bar{v}_x^2 \mathrm{d}t$, und der Druck ist$n m \bar{v}_x^2$, in Übereinstimmung mit dem Ausdruck auf Wikipedia.

Das obige Argument verwendet nicht die Gesamtform der Box. Schauen Sie sich nur ein kleines Stück der Schachtel an; die Box kann jede beliebige Form haben.