Führen instabile Gleichgewichte zu einer Verletzung des Satzes von Liouville?

Question

Führen instabile Gleichgewichte zu einer Verletzung des Satzes von Liouville?

Physik
Gleichgewicht
Phasenraum
Kinetische Theorie
Hamiltonscher Formalismus
Statistische Mechanik

Nutzenmaximierer

Der Satz von Liouville besagt, dass die Strömung im Phasenraum wie eine inkompressible Flüssigkeit ist. Eine Folge davon ist, dass, wenn zwei Systeme an unterschiedlichen Punkten im Phasenraum starten, ihre Phasenraum-Trajektorien nicht verschmelzen können. Aber für ein Potential mit instabilem Gleichgewicht glaube ich ein Gegenbeispiel gefunden zu haben.

Betrachten Sie das unten stehende Potenzial (entschuldigen Sie die schlechten Grafikdesign-Kenntnisse).

Ein Teilchen, das am Punkt A in Ruhe beginnt, $(q,p) = (x_A,0)$ bei $t = 0$ , würde das Potenzial nach links hin beschleunigen. Da es die durch die violette Linie angegebene Energiemenge hat, würde es beim lokalen Maximum B at zur Ruhe kommen $t = T$ , ein instabiles Gleichgewicht $(q,p) = (x_B,0)$ . Jedoch begann jedes Teilchen im Ruhezustand an der Spitze des lokalen Maximums B an $t = 0$ würde auch für immer so bleiben, einschließlich bis zu $t = T$ . Somit scheint es zwei Trajektorien zu geben, die unter Verletzung von Liouvilles Thorem zusammenlaufen.

Knzhou

Es ist eine gute Frage! Hier geht es wirklich nicht einmal um den Satz von Liouville – es geht wirklich um den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen erster Ordnung. Ich denke, es sollte keine Rolle spielen, weil die "schlechten Trajektorien" "Maß Null" haben sollten, aber ich weiß nicht.

Nutzenmaximierer

Nachdem ich ein bisschen mehr darüber nachgedacht habe, denke ich, dass die Erklärung darin besteht, dass das Teilchen, das bei A beginnt, B in einer endlichen Zeitspanne niemals tatsächlich erreicht, sodass die Zeitumkehrbarkeit nicht gebrochen wird. Ein handschwingender Beweis dafür ist, dass, wenn Sie versuchen, die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, um von A nach B zu gelangen, sich herausstellt, dass dies die gleiche Formel für die Zeit ist, die benötigt wird, um von B nach A zu gelangen, was offensichtlich unendlich ist.

Knzhou

Nein, für bestimmte Potentiale, wie zum Beispiel einige Potenzgesetze, dauert es wirklich eine begrenzte Zeit! Deine Frage steht.

Nutzenmaximierer

Können Sie ein Beispiel für ein solches Potenzgesetz geben? Ich habe versucht, es für einen Kubikmeter auszurechnen, und fand die Zeit unendlich.

Michael Seifert

@UtilityMaximiser: Ich glaube, dass jede Potenz zwischen 1 und 2 ausreicht. Zum Beispiel könnten Sie haben

U \propto | x |^{3 / 2}

$U \propto |x|^{3/2}$ ; Dies ist als Nortons Kuppel bekannt.

Ranza

Der Satz von Liouville berücksichtigt eine (potenziell unendliche) Menge nahegelegener Trajektorien. Das Beispiel, das Sie gegeben haben, funktioniert nur für Trajektorien des Maßes Null.

lcv

Nortons Kuppel scheint hier relevant zu sein. Aber wenn es ein Gleichgewichtspunkt ist, bleibt das Teilchen einfach dort (in der mathematisch idealen Welt).

Benutzer35952

Wie @knzhou betont hat, habe ich das Gefühl, dass die schlechten Trajektorien das Maß Null haben. Haben Sie etwas über den Rekursionssatz von Poincare gelesen?

Antworten (4)

Führen instabile Gleichgewichte zu einer Verletzung des Satzes von Liouville?

Es ist eine gute Frage! Hier geht es wirklich nicht einmal um den Satz von Liouville – es geht wirklich um den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen erster Ordnung. Ich denke, es sollte keine Rolle spielen, weil die "schlechten Trajektorien" "Maß Null" haben sollten, aber ich weiß nicht.
Nachdem ich ein bisschen mehr darüber nachgedacht habe, denke ich, dass die Erklärung darin besteht, dass das Teilchen, das bei A beginnt, B in einer endlichen Zeitspanne niemals tatsächlich erreicht, sodass die Zeitumkehrbarkeit nicht gebrochen wird. Ein handschwingender Beweis dafür ist, dass, wenn Sie versuchen, die Zeit zu berechnen, die benötigt wird, um von A nach B zu gelangen, sich herausstellt, dass dies die gleiche Formel für die Zeit ist, die benötigt wird, um von B nach A zu gelangen, was offensichtlich unendlich ist.
Nein, für bestimmte Potentiale, wie zum Beispiel einige Potenzgesetze, dauert es wirklich eine begrenzte Zeit! Deine Frage steht.
Können Sie ein Beispiel für ein solches Potenzgesetz geben? Ich habe versucht, es für einen Kubikmeter auszurechnen, und fand die Zeit unendlich.
@UtilityMaximiser: Ich glaube, dass jede Potenz zwischen 1 und 2 ausreicht. Zum Beispiel könnten Sie haben $U \propto |x|^{3/2}$ ; Dies ist als Nortons Kuppel bekannt.
Der Satz von Liouville berücksichtigt eine (potenziell unendliche) Menge nahegelegener Trajektorien. Das Beispiel, das Sie gegeben haben, funktioniert nur für Trajektorien des Maßes Null.
Nortons Kuppel scheint hier relevant zu sein. Aber wenn es ein Gleichgewichtspunkt ist, bleibt das Teilchen einfach dort (in der mathematisch idealen Welt).
Wie @knzhou betont hat, habe ich das Gefühl, dass die schlechten Trajektorien das Maß Null haben. Haben Sie etwas über den Rekursionssatz von Poincare gelesen?

Valter Moretti · Answer 1

Die Tatsache, dass Trajektorien im Phasenraum nicht verschmelzen (sich schneiden) können, hat nichts mit dem Liouville-Theorem zu tun, sondern ist eine Folge der Tatsache, dass die Hamilton-Gleichungen von erster Ordnung sind (und der Hamilton-Operator uns Lipschitz-stetig). Das Beibehalten der ersten Ordnung der Gleichungen und das willkürliche Ändern ihrer Form würde das Liouville-Theorem falsch machen, aber die Trajektorien würden sich jedoch nicht verschmelzen (oder schneiden).

Zweitens ist Ihr Beispiel irreführend, da Sie die Projektion der Trajektorien auf den 1D-Konfigurationsraum betrachten, anstatt sie im 2D-Phasenraum zu untersuchen (wo das Liouville-Theorem en passant gilt ) . Wenn Sie im Phasenraum bleiben, sehen Sie, dass sich die Lösungen der von Ihnen betrachteten Hamilton-Gleichungen nicht schneiden. Eins ist nur ein Punkt (mit $p=0$ Und $x$ der mit der Spitze B des Potentials zusammenfällt) und der andere ist eine Trajektorie (unter bestimmten Bedingungen geschlossen) um diesen Zustand herum. Wenn die Bewegung durch B in der Variablen geht $x$ , Dort $p\neq 0$ damit sich die Bahnen nicht schneiden. Es passiert anscheinend nur im Konfigurationsraum.

ehrliche_vivere · Answer 2

Haftungsausschluss: Ein Großteil der folgenden Antwort stammt aus einer anderen Antwort von mir unter https://physics.stackexchange.com/a/177972/59023 .

Definitionen und Hintergrund

Lassen Sie uns die Dichte von Partikeln in einem Volumenelement definieren, $d \mathbf{x} \ d \mathbf{v}$ , zu einer festen Zeit, $t$ , zentriert bei ( $\mathbf{x}$ , $\mathbf{v}$ ) als Menge $f(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$ . Wir nehmen an, dass diese Funktion nicht negativ ist, eine endliche Menge an Materie enthält und im Raum positiver Zeiten und existiert $\mathbb{R}^{3}$ Und $\mathbb{R}{\scriptstyle_{\mathbf{v}}}^{3}$ , Wo $\mathbb{R}{\scriptstyle_{\mathbf{v}}}^{3}$ ist der Raum aller möglichen Geschwindigkeiten. Dann können wir sehen, dass es zwei Arten der Interpretation gibt $f$ : (1) es kann eine Annäherung an die wahre Phasenraumdichte eines Gases sein (großer Maßstab im Vergleich zu Trennungen zwischen Teilchen); oder (2) es kann unsere Unkenntnis der wahren Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen im System widerspiegeln. Die erste Interpretation ist deterministisch, während die zweite probabilistisch ist. Letzteres wurde implizit von Boltzmann [ Villani , 2002, 2006] verwendet.

Die Vlasov-Gleichung ist die kollisionsfreie Form der Boltzmann-Gleichung . Die Wlassow-Gleichung kann geschrieben werden als:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial F_{S}}{\partial T} + v \cdot \nabla F_{S} + \frac{F}{M_{S}} \cdot \nabla_{v} F_{S} = 0 \end{matrix}

$\frac{ \partial f_{s} }{ \partial t } + \mathbf{v} \cdot \nabla f_{s} + \frac{ \mathbf{F} }{ m_{s} } \cdot \nabla{\scriptstyle_{ \mathbf{v} }} f_{s} = 0 \tag{1}$ Wo

f_{s} = f_{s} (x, v, t)

$f_{s} = f_{s}(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$ ist die Teilchenverteilungsfunktion von Arten

s

$s$ ,

F

$\mathbf{F}$ ist eine äußere Kraft, und

\nabla_{v}

$\nabla_{\mathbf{v}}$ =

\hat{x}

$\hat{\mathbf{x}}$

\partial

$\partial$ /

\partial v_{x}

$\partial v_{x}$ +

\hat{y}

$\hat{\mathbf{y}}$

\partial

$\partial$ /

\partial v_{y}

$\partial v_{y}$ +

\hat{z}

$\hat{\mathbf{z}}$

\partial

$\partial$ /

\partial v_{z}

$\partial v_{z}$ . Wir können Gleichung 1 modifizieren, indem wir die Lorentz-Gleichung für verwenden

F

$\mathbf{F}$ für elektromagnetische Felder und Einführung einer linearen Störung für jede variable Größe der Form A

\to

$\rightarrow$

⟨ A ⟩ + δ A

$\langle A \rangle + \delta A$ . Hier sind wir davon ausgegangen

⟨ ⟩

$\langle \ \rangle$ ist ein Ensemble-Durchschnitt und

δ

$\delta$ repräsentiert Schwankungen um den Mittelwert (

⟨ δ A ⟩

$\langle \delta A \rangle$ = 0). Das Ergebnis ist als Vlasov-Poisson-Fokker-Planck-Modell bekannt, wobei die linke Seite von Gleichung 1 der Vlasov-Poisson-Teil (Vlasov-Maxwell, wenn elektromagnetische Felder vorhanden sind) und Störungen davon sind

⟨ f ⟩

$\langle f \rangle$ Und

δ f

$\delta f$ wegen

δ E

$\delta \mathbf{E}$ Und

δ B

$\delta \mathbf{B}$ erzeugen Sie einen effektiven Stoßterm analog zum Fokker-Planck-Stoßoperator (zB BGK-Operator ). Deshalb lassen wir folgendes gelten:

\begin{aligned} (2a) & F_{S} & \to ⟨ F_{S} ⟩ + δ F_{S} \\ (2b) & E & \to ⟨ E ⟩ + δ E \\ (2c) & B & \to ⟨ B ⟩ + δ B \end{aligned}

$\begin{align} f_{s} & \rightarrow \langle f_{s} \rangle + \delta f_{s} \tag{2a} \\ \mathbf{E} & \rightarrow \langle \mathbf{E} \rangle + \delta \mathbf{E} \tag{2b} \\ \mathbf{B} & \rightarrow \langle \mathbf{B} \rangle + \delta \mathbf{B} \tag{2c} \end{align}$

Liouvilles Gleichung

Wir wissen das $\langle f \rangle$ (wir implizieren tiefgestellt $s$ aber aus Faulheit fallen gelassen) erfüllt Liouvilles Gleichung , oder besser gesagt, $\partial \langle f \rangle$ / $\partial t = 0$ . Allgemein lautet die Bewegungsgleichung:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial F}{\partial T} = F [(\frac{\partial}{\partial Q} \frac{D Q}{D T}) + (\frac{\partial}{\partial P} \frac{D P}{D T})] + [\frac{D Q}{D T} \cdot \frac{\partial F}{\partial Q} + \frac{D P}{D T} \cdot \frac{\partial F}{\partial P}] \end{matrix}

$\frac{ \partial f }{ \partial t } = f \left[ \left( \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{q} } \frac{ d\mathbf{q} }{ dt } \right) + \left( \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{p} } \frac{ d\mathbf{p} }{ dt } \right) \right] + \left[ \frac{ d\mathbf{q} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{q} } + \frac{ d\mathbf{p} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{p} } \right] \tag{3}$ wobei wir den kanonischen Phasenraum von (

q

$\mathbf{q}$ ,

p

$\mathbf{p}$ ). Wenn wir die Begriffe vereinfachen

d A / d t

$dA/dt$ Zu

\dot{A}

$\dot{A}$ und lass

Γ = (q, p)

$\boldsymbol{\Gamma} = (\mathbf{q}, \mathbf{p})$ , dann finden wir:

\begin{aligned} (4a) & \frac{\partial F}{\partial T} & = - F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} - \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (4b) & = - \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot (\dot{Γ} F) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ \partial f }{ \partial t } & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} - \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{4a} \\ & = - \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \left( \dot{\boldsymbol{\Gamma}} f \right) \tag{4b} \end{align}$ wobei wir feststellen, dass die letzte Form wie die Kontinuitätsgleichung aussieht . Wenn wir die Gesamtzeitableitung definieren als:

\begin{matrix} (5) & \frac{D}{D T} = \frac{\partial}{\partial T} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial}{\partial Γ} \end{matrix}

$\frac{ d }{ dt } = \frac{ \partial }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{5}$ dann können wir zeigen, dass die zeitliche Änderungsrate der Verteilungsfunktion gegeben ist durch:

\begin{aligned} (6a) & \frac{D F}{D T} & = \frac{\partial F}{\partial T} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (6b) & = - [F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ}] + \dot{Γ} \cdot \frac{\partial F}{\partial Γ} \\ (6c) & = - F \frac{\partial}{\partial Γ} \cdot \dot{Γ} \\ (6d) & \equiv - F Λ (Γ) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ d f }{ dt } & = \frac{ \partial f }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{6a} \\ & = - \left[ f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \right] + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \tag{6b} \\ & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \tag{6c} \\ & \equiv - f \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{6d} \end{align}$ Wo

Λ

$\Lambda$ (

Γ

$\boldsymbol{\Gamma}$ ) wird als \textit{Phasenraum-Kompressionsfaktor} bezeichnet [ Evans und Morriss , 1990]. Beachten Sie, dass die Gleichungen 6a bis 6d verschiedene Formen der Liouville-Gleichung sind, die ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen erhalten wurden und nicht die Existenz eines Hamilton-Operators erfordern. Wir können Gleichung 6d in die folgende Form umschreiben:

\begin{matrix} (7) & \frac{D}{D T} \ln | F | = - Λ (Γ) \end{matrix}

$\frac{ d }{ dt } \ln \lvert f \rvert = - \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \tag{7}$ Diese Gleichung scheint sich von der üblichen Version der Liouville-Gleichung zu unterscheiden, da sie nicht von einem Hamilton-Operator abgeleitet wurde. Wenn die Bewegungsgleichungen aus einem Hamilton-Operator generiert werden können, dann

Λ (Γ) = 0

$\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$ , selbst in Gegenwart externer Felder, die das System aus dem Gleichgewicht bringen. Beachten Sie, dass die Existenz eines Hamiltonoperators eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung dafür ist

Λ (Γ) = 0

$\Lambda \left( \boldsymbol{\Gamma} \right) = 0$ . Für den inkompressiblen Phasenraum stellen wir die einfache Form der Liouville-Gleichung wieder her:

\begin{matrix} (8) & \frac{D F}{D T} = 0 \end{matrix}

$\frac{ d f }{ dt } = 0 \tag{8}$ Der Satz von Liouville kann jedoch durch Folgendes verletzt werden:

Quellen oder Senken von Partikeln;
Existenz von kollidierenden, dissipativen oder anderen verursachenden Kräften $\nabla{\scriptstyle_{ \mathbf{v} }} \cdot \mathbf{F} \neq 0$ ;
Grenzen, die zum Einfangen oder Ausschließen von Partikeln führen, sodass nur Teile einer Verteilung von einem Punkt zum anderen abgebildet werden können;
räumliche Inhomogenitäten, die zu einer Geschwindigkeitsfilterung führen (z. B. $\mathbf{E} \times \mathbf{B}$ - Drifts, die verhindern, dass Teilchen mit kleineren Geschwindigkeiten den Ort erreichen, den sie erreicht hätten, wenn sie nicht gedriftet wären); oder
zeitliche Variabilität an der Quelle oder anderswo, die zu einer nicht gleichzeitigen Beobachtung von entgegengesetzt gerichteten Trajektorien führt.

Fragen und Antworten

Der Satz von Liouville besagt, dass die Strömung im Phasenraum wie eine inkompressible Flüssigkeit ist. Eine Folge davon ist, dass, wenn zwei Systeme an unterschiedlichen Punkten im Phasenraum starten, ihre Phasenraum-Trajektorien nicht verschmelzen können.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies ganz richtig ist. Wenn Sie sich Gleichung 7 oben ansehen, werden Sie sehen, dass die allgemeine Form eine eingebaute Phasenraum-Kompressibilität aufweist.

Somit scheint es zwei Trajektorien zu geben, die unter Verletzung von Liouvilles Thorem zusammenlaufen.

Im Gegensatz zu dem, was viele denken mögen, ist die allgemein ausgedrückte Form des Satzes von Liouville ein sehr spezifischer Fall, in dem keines der oben aufgeführten Beispiele vorhanden ist, wodurch ein inkompressibler Phasenraum erhalten bleibt.

Betrachten Sie zum Beispiel die Boltzmann-Gleichung mit dem irreversiblen Kollisionsoperator auf der rechten Seite. Diese Gleichung stellt eine Situation dar, in der $\tfrac{ d f }{ dt } \neq 0$ , wodurch die vereinfachte Form von Liouvilles Thorem verletzt wird.

Verweise

Evans, DJ und G. Morriss Statistical Mechanics of Nonequilibrium Liquids, 1. Auflage , Academic Press, London, 1990.
Penrose, O. „Grundlagen der statistischen Mechanik“, Rep. Prog. Phys. 42 , S. 1937-2006, doi:10.1088/0034-4885/42/12/002, 1979.
Villani, C. "Kapitel 2: Ein Überblick über mathematische Themen in der Kollisionskinetiktheorie", S. 71–74, Nordholland, Washington, DC, doi: 10.1016 / S1874-5792 (02) 80004-0, 2002.
Villani, C. "Entropieproduktion und Konvergenz zum Gleichgewicht für die Boltzmann-Gleichung", in XIVTH International Congress on Mathematical Physics , herausgegeben von J.-C. Zambrini, S. 130–144, doi:10.1142/9789812704016_0011, 2006.

Ich schätze die ausführliche Antwort und bin in den von Ihnen besprochenen Themen nicht belesen, bin jedoch nicht ganz überzeugt. Zum einen gibt es in dem einfachen Fall, den ich gegeben habe, keinen irreversiblen Kollisionsoperator. Es gibt nur ein Teilchen und es gibt ein einfaches zeitunabhängiges Potential (und daher eine Hamilton-Funktion). Dennoch scheint es Unumkehrbarkeit zu geben.
Nebenbei betrachte ich die mikroskopische Reversibilität als ein Grundprinzip der Physik, das durch kein statistisches Modell umgestoßen werden kann. Ich bezweifle nicht, dass das Hinzufügen irreversibler Terme in die dynamischen Gleichungen empirisch fruchtbar oder analytisch zweckmäßig sein kann, aber die Gleichungen sind in einem tieferen Sinne immer noch "falsch".
@UtilityMaximiser - Sie müssen nichts "umkippen", wenn Sie etwas wirklich als mikroskopisch behandeln, dh Quanteneffekte einbeziehen. Dann ist nichts wirklich umkehrbar ...
Ich habe den Begriff „mikroskopisch“ nicht verwendet, um physikalisch klein zu bedeuten, ich meinte ihn in dem Sinne, in dem die Leute oft sagen, dass die analytische Mechanik „mikroskopisch“ ist, während die Thermodynamik „makroskopisch“ ist. Aber es stimmt nicht, dass die Quantenmechanik irreversibel ist. Die Evolution in der Quantenmechanik wird durch einen einheitlichen Operator bestimmt $U$ und kann daher durch die Anwendung seines Adjunkten umgekehrt werden $U^{\dagger}$ , ebenfalls ein unitärer Operator.
Wenn Sie die Position oder den Impuls eines Teilchens nicht kennen, wie können Sie es zeitlich vorwärts oder rückwärts verfolgen? Sind außerdem alle Quantenoperatoren einheitlich? Ich glaube mich zu erinnern, dass einige das nicht waren, aber es ist so lange her, seit ich einen QM-Kurs hatte, dass ich hier wahrscheinlich falsch liege ...
@UtilityMaximiser - Ich hatte einen anderen Gedanken. Vielleicht ändert der Beginn mit einem instabilen Gleichgewicht die Randbedingungen so, dass die Standardform der Liouville-Gleichung nicht gilt. Das heißt, die Anfangsbedingungen verhindern, dass df/dt Null wird.

Thema · Answer 3

Ein paar Anmerkungen zu der Frage, die Sie stellen:

Die Liouville-Gleichung beschreibt nicht ein einzelnes Teilchen, sondern ein Ensemble von Zuständen, die sich nach den Gesetzen der Mechanik entwickeln. Die Liouville-Gleichung besagt, dass die Entropie des Systems zu allen Zeiten konstant bleibt, was bedeutet, dass diese Gleichung isentropische Prozesse beschreibt und sonst nichts. Die Annäherung an das Gleichgewicht wird von einem Anstieg der Entropie begleitet, etwas, das die Liouville-Gleichung nicht verarbeiten kann.
Die Aussage, dass "zwei Systeme an unterschiedlichen Punkten im Phasenraum beginnen, ihre Phasenraumbahnen können nicht verschmelzen", ist richtig, aber keine Folge der Liouville-Gleichung. Daraus folgt, dass die Bewegungsdifferentialgleichungen für gegebene Anfangsbedingungen eine eindeutige Lösung haben. Eine Verschmelzung würde bedeuten, dass zwei verschiedene Anfangsbedingungen zu einem späteren Zeitpunkt denselben Zustand erzeugen, was nicht möglich ist.
Ihr Beispiel verletzt nicht die Eindeutigkeit von Trajektorien. Um es zu verletzen, müssen Sie zwei verschiedene Trajektorien im selben Potenzial finden, wobei beide Trajektorien bei beginnen $A$ und beide enden auf $B$ .

Abduhu · Answer 4

Der Satz von Liouville impliziert einfach, dass die beiden Teilchen bei t = T nicht denselben Zustand einnehmen können, da sich ihre Zustandstrajektorien wie Ströme in einer nicht komprimierbaren Flüssigkeit verhalten. Wenn das erste Teilchen B erreicht, wird es physikalisch das zweite Teilchen stoßen und es auf die linke Seite werfen.

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