Ich versuche, die Beziehung zwischen den beiden Erhaltungsgesetzen zu verstehen. Soweit ich weiß, ist das Ergebnis von Liouville eine schwächere Bedingung: Es beruht lediglich auf der besonderen Form, die von Hamiltons Gleichungen und ihrem entsprechenden hamiltonischen Vektorfeld angenommen wird, während die Energieerhaltung im hamiltonschen Formalismus erfordert, dass der Hamilton-Operator explizit zeitunabhängig ist. Ich würde sogar sagen, dass es in dieser Hinsicht ein tieferes Prinzip ist.
Andererseits sind mir seine direkten Auswirkungen auf die Bahnen und die Bewegung von Teilchen ziemlich schwer fassbar. Ich habe hauptsächlich physikalische Systeme gesehen, bei denen sowohl Energie als auch Phasenraumvolumen erhalten bleiben, und ich habe eine Reihe dissipativer Systeme gesehen, beispielsweise einen gedämpften Oszillator, bei denen beide nicht erhalten bleiben. Ich suche irgendwo in der Mitte nach Beispielen, um ihre jeweilige Einzigartigkeit zu erfassen: Erhaltung des Phasenraumvolumens, aber keine Energieerhaltung, eine hypothetische Situation, in der Energie erhalten bleibt, aber der Satz von Liouville nicht gilt und so weiter. Ich würde lieber ein Beispiel aus der klassischen Mechanik kennen als aus der statistischen Mechanik, von der ich weiß, dass das Theorem von Liouville besonders nützlich ist, aber ich weiß fast nichts darüber.
Eigentlich ist das Liouville-Theorem allgemeiner – es gilt auch dann, wenn die Verteilungsfunktion von der Zeit abhängt, und sogar wenn der Hamilton-Operator von der Zeit abhängt.
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonisch)
-> Erhaltung des Phasenraumvolumens, aber keine Energieerhaltung: Jeder Hamilton-Operator, der von der Zeit abhängt, aber das wissen Sie bereits. Beispielsweise System freier Teilchen unter Einwirkung vorgegebener zeitabhängiger Kräfte.
-> Energie bleibt erhalten, aber der Satz von Liouville gilt nicht: Dies ist schwieriger zu finden. Der Satz von Liouville gilt für jeden normalen Hamilton-Operator, also müssen wir nach einem nicht-Hamilton-System suchen, das trotzdem Energie hat und diese erhalten bleibt. Das einzige, was mir in den Sinn kommt, ist ein nicht-holonomisches System mit einigen unangenehmen Bewegungsbeschränkungen, wie ein Ball in einem Flugzeug ohne Rutschen. Basierend auf dem, was Goldstein im 2. Kapitel seines Buches sagt, denke ich, dass es für solche Systeme möglicherweise keinen Hamiltonschen, also kein Liouville-Theorem gibt. Man hat eher die grundlegenden Newtonschen Bewegungsgleichungen und Zwangsgleichungen und Ungleichungen - Energie kann dann als Summe kinetischer Energien definiert und erhalten werden.
Der Satz von Liouville hängt nicht nur von der Form der Hamiltonschen Gleichungen ab, sondern auch davon, dass , Wo ist die statistische Verteilungsfunktion des Systems. Dies gilt streng genommen nur für geschlossene Systeme und gilt annähernd für quasi-geschlossene Systeme, wenn sie zu lange nicht beobachtet werden.
Die Energie eines Systems ist dann erhalten, wenn seine Lagrange-Funktion und damit auch die Hamilton-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist. Für makroskopische Körper gilt dies nur für ein abgeschlossenes System und annähernd für ein quasi-geschlossenes System über eine ausreichend kurze Zeitdauer.
Eine Zeitdauer wird im Vergleich zur Relaxationszeit des Systems als lang oder kurz betrachtet. Die Entspannungszeit ist ungefähr die Zeit, die das System benötigt, um sich an seine Umgebung anzupassen.
Somit gelten sowohl der Satz von Liouville als auch die Energieerhaltung über die gleiche Zeitskala und unter den gleichen Bedingungen. Insofern sind sie gleichwertig.