Beweis des Satzes von Liouville: Zusammenhang zwischen Phasenraumvolumen und Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion

Um das Ergebnis zu erhalten$\frac{\text d \rho }{\text d t}=0$Sie brauchen zwei Tatsachen: Die erste ist, dass der Hamilton-Fluss das Volumen des Phasenraums bewahrt. Die zweite Tatsache ist die Wahrscheinlichkeitserhaltung , dh die Wahrscheinlichkeit, dass das System in einem Volumen gefunden wird$U$zum Zeitpunkt$t=0$gleich der Wahrscheinlichkeit, es darin zu finden$\Phi _t U$zum Zeitpunkt$t$, Wo$\Phi _t$bezeichnet den Hamiltonschen Fluss. Dies ist eine direkte Folge der deterministischen Natur der klassischen Mechanik: Die beiden Sätze „$(p(0),q(0))\in U$" Und "$(p(t),q(t))\in \Phi _t U$“ sind gleichwertig.

Unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitserhaltung für ein beliebiges Volumen$U$Wir können eine Gleichung schreiben:

$$\int _U \rho(p,q,0) \text d p \text d q=\int _{\Phi _t U} \rho(p,q,t)\text dp \text d q .$$ Nach dem Satz von Jacobi: $$\int _{\Phi_t U} \rho (p,q,t)\text d p \text d q=\int _U\rho (\Phi _t (p,q),t)\text J_{\Phi _t}d p \text d q.$$ Der Jakobi $J_{\Phi _t}=1$, weil die Strömung Volumina erhält. Es folgt dem: $$\int _U \rho (p,q,0)\text d p \text d q =\int _U \rho (\Phi _t (p,q),t)\text d p \text d q,$$ und da das Volumen $U$war willkürlich, $\rho (p,q,0)=\rho (\Phi _t (p,q),t)$, oder $\text d\rho /\text d t=0$.

Ich glaube nicht, dass Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch den Hamiltonschen Fluss erhalten bleiben ... betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die a ist$\delta$-Funktion im Phasenraum zum Anfangszeitpunkt (Sie haben nur einen Punkt mit Wahrscheinlichkeit eins), also ist es ein Teilchen mit fester Koordinate und festem Impuls. Wenn Sie sich zeitlich durch den Hamiltonschen Fluss entwickeln, befinden Sie sich an dem Phasenraumpunkt, der der entwickelten Position und dem Impuls des Teilchens entspricht. Es entspricht wieder a$\delta$-Funktion Wahrscheinlichkeitsverteilung, aber an einem anderen Punkt, also anders als der Ausgangspunkt.

Ich denke, Sie sollten die Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Hilfe von Maßen charakterisieren. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung hat als Wahrscheinlichkeitsmaß eine mathematische Bedeutung$\mu$auf dem Phasenraum$\mathscr{Z}$. Du hast das$\mu(\mathscr{Z})=1$(Gesamtwahrscheinlichkeit ist eins). Da die Anfangsverteilung das Maß ist$\mu_0$, und ruft$\Phi(t)$der Hamilton-Fluss, sollten Sie das Maß zur Zeit erhalten$t$als Pushforward der Anfangsmaßnahme durch die Strömung:$\mu_t=\Phi(t)_*\mu_0$.

Allerdings bin ich mir da nicht ganz sicher, ich hoffe auf ein Feedback und eventuelle Korrekturen von jemandem, der mehr Experte für klassische statistische Mechanik ist ;-)

Die Phasenraumdichte$\varrho(p,q)$sagt uns, wie viele dynamisch mögliche Trajektorien (DPT) durch ein gegebenes Einheitsvolumen des Phasenraums verlaufen. Daher ist es ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, ein System im Zustand zu finden$(p,q)$denn wenn es mehr DPTs gibt, ist es wahrscheinlicher, ein System in diesem Zustand zu finden (wenn wir davon ausgehen, dass jede DPT gleich wahrscheinlich ist, dh jede Anfangsbedingung gleich wahrscheinlich ist).

In diesem Sinne$\varrho(p,q)$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Sie können sich das wie bei einer einfachen Flüssigkeit vorstellen. Sie müssen die Wahrscheinlichkeitserhaltung erzwingen (so wie Sie beispielsweise die Massenerhaltung in der Fluiddynamik oder die Ladungserhaltung in der Elektrodynamik erzwingen könnten).

Soweit ich es verstehe, ist die Wahrscheinlichkeitserhaltung eine zusätzliche Prämisse für die Erhaltung des Phasenraumvolumens unter Hamilton-Fluss, und dies scheint im Sinne von Yuggibs Antwort zu gehen.

Wenn Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß haben, ist es durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum gekennzeichnet$\rho(\mathbf{q},\mathbf{p})$zum Beispiel mit dem Lebesgue-Maß im Phasenraum verbunden ist, dann wissen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitserhaltung zu einer Gleichung wie dieser führt:

$$\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \textrm {div} (\rho \mathbf{v}) = 0 \end{equation}$$

Wenden Sie jetzt die Tatsache an, dass$\textrm {div} (\rho \mathbf{v}) = \rho\, \textrm {div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \textrm{grad} (\rho)$und das

$$\textrm {div}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} = \frac{\partial^2 H}{\partial q \partial p} - \frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q} \equiv 0$$ (Satz von Liouville), können Sie die andere Tatsache verwenden, dass $\mathbf{v} \cdot\textrm{grad}(\rho) = \{H, \rho \}$was zu dem gesuchten Ergebnis führt (ich habe die Zeichen nicht überprüft, daher kann sich irgendwo ein Minus wundern):

$$\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = \{\rho, H \} \end{equation}$$

Wie können wir von hier aus sagen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion konstant ist, wenn wir im Phasenraum fließen?

Genauer gesagt, Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion$f_t(p,q)$an repräsentativer Stelle$p^*(t),q^*(t)$Die Bewegung entlang einer Hamiltonschen Trajektorie im Phasenraum ist zeitlich konstant. Die Funktion selbst ändert sich im Allgemeinen mit der Zeit. Dieser Wert ist

$$f_t(p^*(t),q^*(t)) =$$

$$= \frac{\text{prob. per phase space element centered on the moving point}}{\text{volume of the element}}$$

Dies ist zeitlich konstant, da sowohl Zähler als auch Nenner zeitlich konstant sind.

Der Zähler ist konstant, weil sich das Element mit der Strömung entwickelt und obwohl sich seine Grenze verformt, verliert das Element keine Wahrscheinlichkeit.

Der Nenner ist aufgrund der Hamilton-Eigenschaft der Strömung konstant (Trajektorien von repräsentativen Punkten w gehorchen den Hamilton-Gleichungen).