Phasenraum in der Quantenmechanik und Heisenbergsche Unschärferelation

Question

Phasenraum in der Quantenmechanik und Heisenbergsche Unschärferelation

garamc

In meinem Buch über Quantenmechanik geben sie eine Ableitung, die für ein Teilchen eine Fläche von $h$ In $2D$ Phasenraum enthält genau einen quantenmechanischen Zustand. In meinem Buch über statistische Physik machen sie genau dasselbe, aber jetzt für $6D$ Phasenraum (jetzt umfasst ein quantenmechanischer Zustand ein Volumen von $h^3$ ).

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das gut interpretiere. Bedeutet das in diesem $6D$ Volumen des Phasenraums (von $h^3$ ), kann sich das Teilchen nur an genau einem Ort mit nur einem möglichen Satz von Impulsvektoren befinden $p_x$ , $p_y$ , $p_z$ (so interpretiere ich "einen möglichen Zustand")?

Wenn diese Interpretation richtig ist, habe ich folgendes Problem. Beide Bücher sagen, dass dies der Unschärferelation von Heisenberg entspricht, aber ich verstehe nicht warum. Mir scheint, weil man messen kann (fi in $2D$ Phasenraum) $p_x$ Und $x$ so dass $∆x∆p_x = h$ und weil dies genau die Fläche des Phasenraums ist, in der es nur einen Zustand gibt, hat man nun Ort und Impuls des Teilchens genau bestimmt (weil es in diesem Bereich nur einen Zustand gibt). Aus diesem Grund denke ich, dass etwas mit meiner Interpretation nicht stimmt (obwohl es mit der Ableitung übereinzustimmen scheint).

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Phasenraum in der Quantenmechanik und Heisenbergsche Unschärferelation

JoshPhysik · Answer 1

Deine Interpretation ist nicht ganz richtig. Eine scharfe Interpretation kann man diesem "Schneiden" des Phasenraums in Würfel der Größe geben $h^{2N}$ (Hier $N$ die Dimension des Konfigurationsraums des Systems ist), dass es einem ermöglicht, den klassischen Phasenraum zu verwenden, um die Anzahl der Energie-Eigenzustände des entsprechenden Quanten-Hamilton-Operators zu zählen. Anstatt zu versuchen zu beschreiben, was ich meine, lassen Sie uns dieses Zeug anhand eines Beispiels untersuchen.

Betrachten Sie den eindimensionalen einfachen harmonischen Oszillator. Der Hamiltonian ist

H (Q, P) = \frac{1}{2 M} P^{2} + \frac{1}{2} M ω^{2} Q^{2}

$H(q,p) = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$ Nehmen wir an, ich möchte Folgendes beantworten:

Frage. Gegeben eine Energie $E>0$ , wie viele Zustände gibt es mit Energien kleiner als $E$ ?

Nun müssen wir hier vorsichtig sein, weil der Begriff "Zustand" im klassischen Fall und im Quantenfall unterschiedliche Bedeutungen hat. Im klassischen Fall ist ein Zustand ein Punkt $(q,p)$ im Phasenraum. Im Quantenfall ist ein Zustand ein Vektor im Hilbert-Raum. Wir können die Frage daher wie folgt uminterpretieren:

Klassische Version. Was ist die Gegend $A(E)$ des Phasenbereichs, der allen klassischen Zuständen entspricht $(q,p)$ mit Energien kleiner als $E$ ?

Quantum-Version. Wie viele Energien Eigenzustände $\Omega(E)$ hat die Hamiltonsche Besitzungen mit Energien von weniger als $E$ ?

Das Erstaunliche ist, vorausgesetzt, wir messen die Fläche im Phasenraum in Einheiten von $h$ , und vorausgesetzt, wir prüfen $h$ viel kleiner als die anderen Skalen im Problem sein, werden beide Fragen (ungefähr) die gleiche Antwort geben! Lassen Sie uns das zeigen. Im klassischen Fall der Bereich des Phasenraums, der alle Zustände mit Energien kleiner als enthält $E$ ist die Fläche des Inneren der durch definierten Ellipse

E < H (Q, P)

$E< H(q,p)$ Es stellt sich heraus, dass die Fläche dieser Ellipse ist

A (E) = \frac{2 π E}{ω}

$A(E) = \frac{2\pi E}{\omega}$ Andererseits erinnern im Quantenfall daran, dass die Energieeigenwerte sind

E_{n} = (n + 1 / 2) ℏ ω

$E_n = (n+1/2)\hbar\omega$ . Dies bedeutet, dass die Anzahl der Eigenzustände mit einer Energie kleiner als ist

E

$E$ wird durch Lösen gefunden

(Ω (E) + \frac{1}{2}) ℏ ω = E

$(\Omega(E) + \tfrac{1}{2})\hbar\omega =E$ was z

h

$h$ klein gibt

Ω (E) \sim \frac{E}{ℏ ω}

$\Omega(E) \sim \frac{E}{\hbar\omega}$ Nun, hier passiert die Magie, beachten Sie das

\frac{A (E)}{Ω (E)} \sim \frac{\frac{2 π E}{ω}}{\frac{E}{ℏ ω}} = 2 π ℏ = H

$\frac{A(E)}{\Omega(E)} \sim \frac{\frac{2\pi E}{\omega}}{\frac{E}{\hbar\omega}} = 2\pi \hbar = h$ also haben wir

Ω (E) \sim \frac{A (E)}{H}

$\boxed{\Omega(E) \sim\frac{A(E)}{h}}$ In Worten: die Fläche des Phasenraums, gemessen in Einheiten von

h

$h$ , ermöglicht es uns, die Anzahl der Quantenzustände unterhalb einer bestimmten Energie genau zu zählen

Danke, das hat die Sache klarer gemacht. Ich habe aber noch einige Fragen. Wenn wir im Fall des harmonischen Oszillators eine Ellipse im Phasenraum nehmen, ist die Menge der Quantenzustände die Fläche der Ellipse dividiert durch $h$ . Aber ich frage mich, wie ich den Fall interpretieren muss, wenn wir keine Ellipse nehmen, sondern zB eine halbe Ellipse oder ein Quadrat im Phasenraum. Denn in diesen Büchern heißt es (im Fall eines freien Teilchens) für einen zufälligen Bereich $dp_xdx$ im Phasenraum (verallgemeinerte Koordinaten sind jetzt $p_x$ Und $x$ ), ist die Anzahl der Staaten in diesem Bereich $\frac{dp_xdx}{h}$ .
Obwohl ich verstehe, wie wir über "eine Menge von Zuständen" in einer Ellipse im Phasenraum sprechen können (im Fall des harmonischen Oszillators), sehe ich nicht wirklich, wie wir dies auf einen zufälligen Bereich im Phasenraum verallgemeinern können. Wie kann man eine Menge von Zuständen in einem zufälligen Gebiet physikalisch interpretieren?
@yarnamc Ich stimme zu, dass das von mir skizzierte Verfahren anscheinend nicht sofort verallgemeinerbar zu sein scheint, um ein beliebiges Phasenvolumen zu sagen. Mein Gefühl ist, dass Autoren, wenn sie solche Dinge behaupten, einfach unpräzise sind. Schließlich steckt in der Quantenmechanik mehr, als uns der klassische Phasenraum sagen kann. Insbesondere sollten wir nur erwarten, dass klassische Aussagen mit Quantenaussagen in gewissen Grenzen übereinstimmen (wie in meiner Antwort, wo wir überlegten $h\to 0$ ). Kurz gesagt, ich denke, diese Autoren sind voll davon :) und ich sehe auch nicht wirklich, wie wir das verallgemeinern können.
Ich muss jedoch sagen, dass es mich sehr interessieren würde, wenn jemand anderes auf Physics.SE etwas weiß, was ich nicht weiß. Hoffen wir, dass das noch mehr Leute lesen!
Ich denke jetzt, dass die Anzahl der Zustände in einem zufälligen Bereich nur ein mathematisches Konzept ohne physikalische Interpretation ist. Danke für eure Antworten :D
Danke für diese Informationen @joshphysics! Gibt es einen Satz, der zeigt, dass dies immer der Fall ist? dh dass die klassische Phasenraumfläche h mal die Anzahl der Eigenzustände ist?
@EnriqueMendez Ich bin mir nicht sicher - es ist lange her, dass ich über dieses Zeug nachgedacht habe, aber wenn Sie irgendwo eines finden, das sich bewährt hat, würde es mich interessieren, davon zu erfahren.

Phasenraum in der Quantenmechanik und Heisenbergsche Unschärferelation

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