Alternative Interpretation der Formel für die Anzahl entarteter Fermionen im Phasenraum

Ich schreibe persönliche Notizen über statistische Mechanik und bin versucht, etwas zu schreiben, das sich als falsch herausstellen könnte. Ich brauche also eine Bestätigung / Bestätigung und Meinungen zu Folgendem (ich vermute, es ist falsch, aber ...).

Die Anzahl entarteter Fermionen in einem Volumen$V$, bei Temperatur$T = 0$, wird aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips (nur ein Fermion pro Zustand) durch Integration auf ihrem Phasenraum gefunden:

$$\begin{equation}\tag{1} N = \int_0^{p_F} \frac{2 \cdot 4 \pi p^2 \, dp}{(2 \pi \hbar)^3} \, V = \frac{p_F^3 \, V}{3 \pi^2 \, \hbar^3}. \end{equation}$$ Dies ermöglicht es, den Fermi-Impuls zu finden $p_F$als Funktion der Teilchendichte $N/V$. Prinzipiell ist diese Integration nur für eine große Anzahl von Teilchen sinnvoll: $N \gg 1$.

Nun bin ich versucht, (1) sogar für als noch gültig zu interpretieren$N = 1$(nur ein Fermion im Kasten), da die Quantenmechanik Überlagerungen von Zuständen für ein einzelnes Teilchen erlaubt. Ein Integral über den Phasenraum zu machen, um nur ein Teilchen in der Box zu finden, ist seltsam und sollte nicht gültig sein (nach dem Pauli-Prinzip macht diese Summierung nur Sinn, wenn$N \gg 1)$. Aber in der QM könnte sich ein einzelnes Teilchen in einer Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlichem Impuls befinden, bis zum maximal zulässigen Wert (dh Fermi-Impuls).

Ist diese Deutung tragfähig? Oder ist das völlig unsinnig?

Für das, was es wert ist, sagt mir meine Intuition, dass diese unkonventionelle Interpretation doch wahr sein könnte, da es einige "alternative" Interpretationen einiger Berechnungen in der statistischen Mechanik gibt. Was mich jedoch beunruhigt, ist das offensichtliche Fehlen des Pauli-Ausschlussprinzips in dieser Interpretation.

Bei der Anwendung des Pauli-Ausschlussprinzips sagen wir "nur ein Teilchen pro gegebenem Zustand", aber in der QM können wir sagen "mehrere Zustände pro Teilchen" ! Dies scheint also darauf hinzudeuten, dass (1) in irgendeiner Weise immer noch gültig sein kann, sogar für$N = 1$.

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EDIT: Hier ist eine vorläufige Begründung, dass die Interpretation in gewisser Weise wahr sein könnte .

Sie haben ein einzelnes Partikel in einem rechteckigen Größenfeld$\ell$, bei Temperatur$T = 0$. Aus der klassischen Mechanik sollte sein durchschnittlicher Impuls 0 sein. Aber wegen der Heisenbergschen Unschärferelation ist der Impuls in der$x$Richtung hat eine minimale Unsicherheit gegeben durch

$$\begin{equation}\tag{2} \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta x} \approx \frac{\hbar}{\ell}, \end{equation}$$ seit $\Delta x \approx \frac{\ell}{2}$(im Durchschnitt). Das Momentum kann also alles in diesem Bereich sein: $$\begin{equation}\tag{3} -\, \Delta p_{x \, \text{max}} \le p_x \le \Delta p_{x \, \text{max}}. \end{equation}$$ Somit nimmt das Teilchen klassischerweise einen kleinen unscharfen Bereich in seinem Phasenraum ein. Das Volumen dieser Region ist durch (1) mit gegeben $p_F$ersetzt durch $\sim \Delta p_x$. Das Pauli-Prinzip kann erfüllt werden, wenn alle anderen Teilchen allein in benachbarte Kästchen platziert werden, sodass es nur ein Teilchen pro Quantenzustand gibt ( dh einen unscharfen Bereich im Phasenraum).

Das vorherige Argument kann für eine beliebige Anzahl von Partikeln in derselben Volumenbox verallgemeinert werden$V$:$N > 1$, indem das Integral (1) in so viele Teile zerlegt wird, dass es Fermionen gibt. Für$N = 3$zum Beispiel (oder jede andere ganze Zahl):

$$\begin{equation}\tag{4} N = \int_0^{p_1} \dots dp + \int_{p_1}^{p_2} \dots dp + \int_{p_2}^{p_{\text{max}}} \dots dp, \end{equation}$$ Wo $0 < p_1 < p_2$sind völlig willkürlich und $p_{\text{max}}$ist der maximal zulässige Wert (Fermi-Impuls). Diese integrale Aufspaltung stimmt mit dem Ausschlussprinzip von Pauli überein. Jedes Teilchen zeichnet einen unscharfen Bereich in seinem Phasenraum (sie können nicht wie in der klassischen Mechanik durch einen Punkt dargestellt werden). Also glaube ich jetzt fest daran, dass (1) immer noch für jede ganze Zahl gültig ist $N$, und nicht nur große Zahlen $N \gg 1$.

Ich brauche Meinungen dazu.