Unterschied zwischen Phasenraum und Hilbertraum? [abgeschlossen]

Kurz gesagt: Der Phasenraum wird nicht zu einem Vektorraum gemacht, weil diese zusätzliche Struktur keinen Nutzen bringt; Die Quantenmechanik verwendet einen Hilbert-Raum, weil diese zusätzliche Struktur Vorteile bietet.

Jedes Mal, wenn Sie eine mathematische Struktur mit einem physikalischen Konzept in Beziehung setzen, müssen Sie sich fragen, wie nützlich diese Beziehung ist. Die mathematische Struktur wird verschiedene Eigenschaften haben, also lautet die Frage: Verkörpert das physikalische Konzept alle diese Eigenschaften, und reichen diese Eigenschaften aus, um die Physik zu beschreiben?

In diesem Fall ist die wichtigste mathematische Struktur, nach der Sie fragen, der Vektorraum, der zwei Schlüsseleigenschaften hat: Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar. In der Quantenmechanik gibt es ein physikalisches Konzept der Interferenz zwischen zwei Teilchen. Die mathematische Struktur des Vektorraums kann dies als Addition der beiden die Teilchen repräsentierenden Vektoren (Wellenfunktionen) darstellen. Wir haben auch das Konzept der Überlagerung von Zuständen für ein einzelnes Teilchen, was auch durch die Addition dieser Zustände dargestellt wird. Aber nur das Addieren der beiden möglichen Zustände gibt Ihnen eine Wellenfunktion, bei der die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Zustand zu finden, größer als eins ist. Sie müssen also in der Lage sein, die möglichen Zustände mit einem Skalar zu multiplizieren. Außerdem könnte es nur eine winzige Möglichkeit geben, das Teilchen in einem dieser Zustände zu finden, Sie möchten also nur eine kleine Menge dieses Vektors einmischen; Sie würden es mit einem kleinen Skalar multiplizieren.

Diese Dinge sind nur Argumente dafür, dass der Vektorraum Ihnen eine vernünftige Möglichkeit bietet, die physikalische Situation darzustellen, und wenn Sie eines der Merkmale des Vektorraums loswerden, bedeutet dies, dass Sie einen Teil seiner Fähigkeit zur Beschreibung der Physik loswerden. Wir wollen also wahrscheinlich keine einfachere mathematische Struktur, und es gibt keinen offensichtlichen Grund, eine kompliziertere mathematische Struktur zu haben. ^[1]

Okay, wenden wir uns nun dem Phasenraum zu. Nehmen Sie der Einfachheit halber das übliche Beispiel eines einzelnen Teilchens in eindimensionaler Bewegung, sodass der Phasenraum zweidimensional ist. Denken Sie daran, dass eine dieser Dimensionen das physikalische Konzept der Position darstellt, während die andere das physikalische Konzept des Impulses darstellt. Sie könnten tatsächlich einen Vektorraum aus diesen beiden Dimensionen machen; Definieren Sie einfach einen Punkt als Vektor in Bezug auf seine Koordinaten, definieren Sie die Addition von zwei Punkten durch Addition ihrer Koordinaten und definieren Sie die Skalarmultiplikation durch Multiplikation ihrer Koordinaten. Das ist eine vollkommen gültige mathematische Struktur. ^[2]

Aber jetzt müssen wir unsere Frage stellen. Was bringt Ihnen diese ausgefallene mathematische Struktur? Sind Vektoraddition und Skalarmultiplikation nützliche Ausdrücke eines physikalischen Konzepts? Was bedeutet es beispielsweise, Position und Impuls gleichzeitig mit 2 zu multiplizieren? Was bedeutet es, das Teilchen mit Ort 1 und Impuls 0 zu dem Teilchen mit Ort 0 und Impuls 1 hinzuzufügen? Das ist nur ein anderer Zustand, wahrscheinlich mit einer anderen Energie. Grundsätzlich gibt es normalerweise keine nützliche physikalische Interpretation dieser Operationen.

Ganz allgemein (wenn auch nicht unbedingt immer) ist es in der Physik nicht sinnvoll, Dinge unterschiedlichen Typs hinzuzufügen. In diesem Fall sind Position und Impuls ganz unterschiedliche Konzepte, daher ist es überhaupt nicht klar, warum Sie sie zusammenzählen sollten. Aus mathematischer Sicht könnte man es definieren. Aber aus physikalischer Sicht ist es nicht klar, warum Sie sollten. ^[3]

Fußnoten:

[1] Wie das OP sagte, verwendet die Quantenmechanik tatsächlich einen Hilbert-Raum, der ein Vektorraum mit einer anderen wichtigen Eigenschaft ist. Es ist nicht nur ein Vektorraum, sondern es ist auch ein inneres Produkt darauf definiert; Sie können zwei Vektoren nehmen und einen Skalar herausbekommen. (Es gibt noch ein paar technische Details, aber das ist der wichtige Teil.) Dies ist wichtig, weil es zum Beispiel das physikalische Konzept der Wahrscheinlichkeit verkörpert. Deshalb müssen Quantenwellenfunktionen nicht nur Vektoren sein, sondern Elemente eines Hilbert-Raums. Oben habe ich mich nur auf die Vektoreigenschaften beschränkt, weil das OP das anscheinend wollte.

[2] Man könnte einwenden, dass wir Mengen verschiedener Einheiten addiert haben, und uns in der Physik beigebracht wird, dies niemals zu tun. Es gibt einen guten Grund, warum uns das in der Physik beigebracht wird: Es ist im Grunde nie nützlich und ist normalerweise ein Zeichen dafür, dass wir etwas falsch gemacht haben. Aber aus rein mathematischer Sicht ist es tatsächlich gültig. Sie könnten hinzufügen 1 meter, 5 kilograms*meters/secondum die Menge zu erhalten 1m + 5kg*m/s, ähnlich wie Sie 1 zu 5 hinzufügen können$i$(Wo$i$ist die Quadratwurzel von -1), um die Menge 1 + 5 zu erhalten$i$. Ich weiß nur nicht, was die Menge 1m + 5kg*m/statsächlich bedeutet oder wie sie nützlich sein könnte. Wenn ich so etwas in einer Berechnung bekomme, würde ich im Grunde wissen, dass ich einen Fehler gemacht habe, weil ich so etwas nie will. Trotzdem ist es mathematisch gut definiert. Tatsächlich könnte man argumentieren, dass die Clifford-Algebra (oder geometrische Algebra) im Wesentlichen dasselbe tut, indem sie einem Vektor oder Bivektor einen Skalar hinzufügt. Hängt man zum Beispiel Distanzeinheiten an den Vektor an, so hat ein Spinor Einheiten [dimensionslos + Distanz$^2$]. Es gibt andere mögliche Interpretationen, aber das ist eine gültige.

[3] Es gibt auch das Konzept einer Flugbahn im Phasenraum, wo die Flugbahn durch einen Vektor gegeben ist. Technisch gesehen liegt dieser Vektor nicht im Phasenraum; es ist im Tangentialraum zum Phasenraum. Dennoch ist dies ein Beispiel für einen Vektorraum, in dem die verschiedenen Richtungen unterschiedliche Einheiten haben würden.