Warum ist die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung eine Linearkombination der Eigenfunktionen?

Du beginnst am falschen Punkt. Das Argument folgt aus der Linearität der Gleichung.
Vermuten$\Psi_k(x,t)$ist Lösung der zeitabhängigen Schr$\ddot{\hbox{o}}$Dinger-Gleichung:

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_k(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_k(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_k(x,t)\, .$$ Dann: $$\Phi(x,t)=a_1\Psi_1(x,t)+a_2\Psi_2(x,t)$$ ist auch eine lösung da $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi(x,t) =a_1\left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_1(x,t)\right)+a_2 \left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_2(x,t)\right)$$ Und $$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Phi(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Phi(x,t) &=a_1\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_1(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_1(x,t)\right)\\ &\quad + a_2\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_2(x,t)\right)\, . \end{align}$$ Diese folgen einfach aus der bekannten Regel, die für zwei beliebige differenzierbare Funktionen gilt $f$Und $g$: $\partial (f+g)/\partial t=\partial f/\partial t+\partial g/\partial t$, und ähnlich für die Teiltöne w/r to $x$. Wenn Sie diese letzten beiden Gleichungen kombinieren, erhalten Sie eine Identität für alle $a_1$Und $a_2$Seit jeder $\Psi_k(x,t)$ist unabhängig eine Lösung. Dies erstreckt sich natürlich einfach auf eine beliebige Anzahl von Termen in der Linearkombination.

Beachten Sie, dass der Eigenwert des zeitunabhängigen Teils niemals in dieses Argument eingeht. Der letzte Schritt besteht darin, zu beobachten, dass die Trennung der Variablen in der zeitabhängigen Gleichung ergibt$\Psi_k(x,t)=e^{-iE_k t}\psi_k(x)$mit$\psi_k(x)$eine Eigenfunktion der zeitunabhängigen Gleichung, aber auch dies geht nicht in das Argument ein.

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Bearbeiten: Beachten Sie, dass dies im Widerspruch zur zeitunabhängigen Gleichung steht. Wenn

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_k(x)}{dx^2}+U(x)\psi_k(x)=E_k\psi_k(x)$$ die rechte Seite muss ein Vielfaches der ursprünglichen Funktion sein. Beachten Sie bei dieser Beobachtung dann, dass es sich um eine Linearkombination handelt $$\psi(x)=a_1\psi_1(x)+a_2\psi_2(x)$$ wird im Allgemeinen KEINE Lösung der zeitunabhängigen Gleichung sein, weil $$\begin{align} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi(x) &=a_1\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi_1(x)\\ &\qquad+a_2\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi_2(x) \\ &=a_1E_1\psi_1(x)+a_2E_2\psi_2(x)\\ &=E_1(a_1\psi_1(x)+a_2\psi_2(x))+(E_2-E_1)a_2\psi_2(x)\\ &=E_1\psi(x)+(E_2-E_1)a_2\psi_2(x) \end{align}$$ wird KEIN Vielfaches von sein $\psi(x)$es sei denn $E_1=E_2$.

Um Ihre Frage zu beantworten, ist es vielleicht nützlich, konzeptionell aus einer etwas anderen Perspektive zu beginnen. In der Quantenmechanik wird ein System beschrieben, indem ein Hilbert-Raum angegeben wird, dessen Vektoren Zustände des Systems darstellen (eigentlich sind dies nur ein Teil der „Zustände“, die als reine Zustände bezeichnet werden, und zwei beliebige Vektoren, die komplexe Vielfache voneinander sind, repräsentieren denselben Zustand Machen Sie sich im Moment keine Sorgen) und eine Vorschrift, wie sich der Zustand des Systems mit der Zeit entwickelt. In diesem Fall ist diese Vorschrift die Schrödinger-Gleichung, die ich als Gleichung von Hilbert-Raumvektoren schreibe (in Ihrem Fall ist der Hilbert-Raum der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen über).$\mathbb{R}$, genannt$L^2(\mathbb{R})$)

$$i\hbar\partial_t\psi_t=\hat{H}[\psi_t]$$

Der Betreiber$\hat{H}$ist selbstadjungiert und die Mathematik sagt uns , dass in diesem Fall die eindeutige Lösung dieser Gleichung mit gegebener Anfangsbedingung ist$\psi_0$(dh der Zustand, in dem Ihr System startet) ist

$$\psi_t=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\psi_0]$$

Wo$U_t:=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}$ist ein einheitlicher Operator namens "Zeitentwicklung" (vergleichen Sie dies mit der Tatsache, dass die Matrix exponentiell von$iA$, Wo$A$ist eine hermitesche Matrix, ist eine unitäre Matrix).

Nun ist die gesamte Restarbeit zu berechnen$U_t\psi_0$für gegeben$\psi_0$. Das ist in den meisten Fällen leider sehr hart! Hier kommt die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ins Spiel. Angenommen, Sie haben eine Reihe von Eigenvektoren$\phi_1, \phi_2 \dots$von$\hat{H}$, das heißt, sie befriedigen$H\phi_i=E_i\phi_i$(Ich hoffe, es gibt keine Verwirrung, wenn Indizes Zeiten bezeichnen und wann sie welche bezeichnen$\phi$Ich rede von). Auch hier sagt uns die Mathematik (und es ist leicht, dies für Matrizen zu verifizieren, das heißt für endlichdimensionale Hilbert-Räume).

$$U_t[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$

Das ist wirklich schön, weil wir jetzt nicht die Exponentialfunktion eines Operators berechnen müssen. Auch alle diese Operatoren sind linear, also wenn wir es schaffen, unseren Anfangszustand zu schreiben$\psi_0$als eine Linearkombination von Eigenvektoren

$$\psi_0=\sum_{i=1}^{?} c_i\phi_i$$ für einige Konstanten $c_i$die gewünschte Lösung nimmt Form an

$$\psi_t=\sum_{i=1}^{?} c_ie^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$ Somit haben wir das Problem gelöst, wenn wir einen Weg finden können, jede gewünschte Anfangsbedingung als Linearkombination von Eigenvektoren von auszudrücken $\hat{H}$. Wir wollen eine orthonormale Basis des Hilbert-Raums finden, die aus solchen Eigenvektoren besteht, dann können wir JEDEN Vektor als unendliche Linearkombination ausdrücken.