Lineare Operatoren und ihre Darstellungen

Ich lerne gerade Quantenmechanik auf leicht fortgeschrittenem Niveau. Ich bin neugierig zu wissen, ob es lineare Operatoren (lineare Karten) im Hilbert-Raum (endlich dimensionale) gibt, die nicht isomorph mit Matrizen sind. Gibt es in diesem Fall andere Darstellungen, die wir wählen können?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen, aber wenn Sie fragen, ob eine lineare Transformation in einem Vektorraum durch eine Matrix in einem Koordinatensystem gegeben werden kann, lautet die Antwort ja.
Aber ich schätze, ich sprach von endlichdimensionalen Vektorräumen. Momentum ist ein Operator im kontinuierlich unendlich dimensionalen Hilbert-Raum.
Das ist, was ich bekomme, wenn ich nicht lese.
@ user35952 Nein, Impuls ist kein Operator im kontinuierlich unendlich dimensionalen Hilbert-Raum. Der Hilbertraum ist L 2 ( R ) , was ein abzählbar unendlich dimensionaler Hilbert-Raum ist. Da es trennbar ist , lässt es eine zählbare Hilbert-Basis zu und alle Basen haben die gleiche Kardinalität.
@V.Moretti: Es tut mir leid, ich kann Sie nicht verstehen, kann diese Trennbarkeit näher erläutern
Trennbar bedeutet für einen metrischen Raum, dass es eine abzählbare dichte Menge gibt. In einem Hilbert-Raum ist trennbar gleichbedeutend damit, dass es eine abzählbare Hilbertsche Basis gibt (und somit jede H.-Basis abzählbar ist). Formale Objekte wie { | P ⟩ } P ∈ R definieren keine Hilbert -Basis im eigentlichen Sinne.

Antworten (1)

Der Raum linearer Operatoren auf an N -dimensionaler Vektorraum v über ein Feld F ist immer isomorph zum Raum von N × N Matrizen vorbei F .

Es ist leicht zu sehen, dass jede Matrix eine lineare Abbildung ist v Zu v - Multiplizieren Sie einfach die Spaltenvektordarstellung der Eingabe mit der Matrix. Wählen Sie für die andere Richtung eine Basis { e ^ ich } für v . Lassen Sie die k -te Spalte einer Matrix M sei die Spaltenvektordarstellung von Ω ( e ^ k ) , Wo Ω ist Ihr Betreiber. Das ist, M ich k = ⟨ e ^ ich | Ω e ^ k ⟩ .

Danke. Was ist mit der Existenz von Basisvektoren für einen Raum (klingt vielleicht dumm, ist aber nur neugierig), gibt es Fälle, in denen sie nicht existieren?
Außerdem interessiert es mich zu wissen, ob es eine Gruppe gibt, zu der lineare Operatoren im kontinuierlich unendlich dimensionalen Vektorraum isomorph sind.
@ user35952 Die Existenz einer Basis für einen Vektorraum erfordert das Wahlaxiom! proofwiki.org/wiki/Vector_Space_has_Basis
Beachten Sie, dass Ihr erster Satz wahr ist, vorausgesetzt, das Feld des Vektorraums ist isomorph zu dem Feld, in dem sich die Einträge der Matrizen befinden.
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