Was bedeutet es, dass ein Zustand eine Überlagerung von Ortseigenzuständen ist?

Question

Was bedeutet es, dass ein Zustand eine Überlagerung von Ortseigenzuständen ist?

John Morrison

In Townsends A Modern Approach to Quantum Mechanics sagt er:

"Obwohl es nicht möglich ist, einen einzigen Wert für die Messung der Position von [einem] Teilchen zu erhalten, werden dennoch Kets wie $|x\rangle$ in denen das Teilchen eine einzelne Position hat, sind sehr nützlich. Wir können uns die in der Natur vorkommenden physikalischen Zustände als Überlagerung dieser Ortseigenzustände vorstellen . Wir werden dann mit der folgenden falschen Annahme konfrontiert:

| ψ ⟩ = \sum_{ich} | X_{ich} ⟩ ⟨ X_{ich} | ψ ⟩

$|\psi\rangle=\sum_i|x_i\rangle\langle x_i|\psi\rangle$

sondern das

\int_{- \infty}^{\infty} | X ⟩ ⟨ X | D X = 1

$\int_{-\infty}^\infty|x \rangle\langle x|\space dx = 1$

Ich bin neu in der Quantenmechanik und kann aus irgendeinem Grund nicht genau verstehen, was der Integrand bedeutet, und ich rationalisiere es mir so: Jeder Positionsvektor kann als Linearkombination der Positionseigenvektoren ausgedrückt werden. Aber was sind diese Ortseigenvektoren? Sind das alle möglichen Positionen, die ein Objekt einnehmen könnte, da jede mögliche Position eine "Eigenposition" sein muss?

Warum verwenden wir überhaupt den Projektionsoperator? Liegt es daran, dass die Position dessen, was wir messen, genau einer und nur einer Eigenposition entspricht und alle anderen Eigenpositionen orthogonal sind? Also muss das innere Produkt zwischen allen möglichen Positionen und der Position des Teilchens irgendwann eins sein, da das Teilchen irgendwo existieren muss? Allerdings hat ein Objekt angesichts der Heinsenbergschen Unschärferelation keine eindeutige Position, wie können wir also überhaupt Eigenpositionen diskutieren?

Daniel Sank

Für alle, die antworten: Diese Frage hat nichts mit Quantenmechanik zu tun. Es ist nur lineare Algebra und Notation.

John Morrison

Die Gültigkeit der fraglichen Hauptgleichung beruht ausdrücklich auf der Unschärferelation, und ich stelle am Ende eine darauf bezogene Frage. Abgesehen davon, ja, es ist eine Frage der linearen Algebra

ZeroTheHero

Dies ist ein Problem mit der Identitätsauflösung gemäß en.wikipedia.org/wiki/… . Das Unschärfeprinzip geht dabei nicht ein.

Antworten (3)

Was bedeutet es, dass ein Zustand eine Überlagerung von Ortseigenzuständen ist?

Für alle, die antworten: Diese Frage hat nichts mit Quantenmechanik zu tun. Es ist nur lineare Algebra und Notation.
Die Gültigkeit der fraglichen Hauptgleichung beruht ausdrücklich auf der Unschärferelation, und ich stelle am Ende eine darauf bezogene Frage. Abgesehen davon, ja, es ist eine Frage der linearen Algebra
Dies ist ein Problem mit der Identitätsauflösung gemäß en.wikipedia.org/wiki/… . Das Unschärfeprinzip geht dabei nicht ein.

Benutzer12029 · Answer 1

Ich denke, es ist am besten, wenn man zum ersten Mal Quantenmechanik studiert, um die Ausdrücke auf rein formale Weise zu verstehen. Es braucht eine ausgeklügelte Mathematik, um rigoros auszudrücken, und es gibt Ihnen nicht wirklich viel Physik zurück.

Der Operator "1" tut, was auf der Dose steht. Es ist keine Projektion beteiligt: Es ist ein "Nichtstun"-Operator, der eine Wellenfunktion nimmt und Ihnen dieselbe Wellenfunktion zurückgibt. Eine sehr bequeme Auflösung ist der Operator "1". $\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$ , was rein formal zu verstehen ist und völlig analog dazu ist, wie die Identitätsmatrix ausgedrückt werden kann als $[1,0]^T[1,0]+[0,1]^T[0,1]$ , nur aufs logische Extrem gebracht: statt der Diagonalen der Identitätsmatrix, die mit gekennzeichnet ist $(1,2)$ , es ist jetzt mit gekennzeichnet $\mathbb{R}$ .

Ich denke nicht, dass es gut ist, diese Auflösung der Identität als eine physische Aussage über die Welt zu interpretieren. Sobald Sie akzeptiert haben, dass Sie eine Wellenfunktion haben $|\psi\rangle$ Überhaupt können Sie beliebige lineare Operatoren oder mathematische Formalismen erstellen.

Wenn Sie eine Beobachtung gemacht haben (um eine Frage zur Physik und nicht zur linearen Algebra zu stellen), könnten Sie den Erwartungswert des Operators finden $|y\rangle\langle y|$ . Dies würde Ihnen etwas Physikalisches geben: die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen an einer Position zu finden $y$ . Wenn Sie jedoch den Erwartungswert des betreffenden Operators finden, $\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$ , du erhältst $\langle\psi|\psi\rangle=1$ . Dies gibt Ihnen überhaupt keine Informationen: eine Beobachtung der $1$ Betreiber tut nichts.

Es ist eine gute Art, darüber nachzudenken: als rein formales Objekt.
Als wir Spinzustände als Linearkombinationen von Eigenzuständen des Spinoperators ausdrückten, machte das Sinn. Warum können wir es nicht für etwas tun, das eine kontinuierliche Basis hat, wie z. B. eine Position?
@johnmorrison Das tun wir, aber das ist, soweit ich das sehe, eine Frage, die nichts mit Ihrem Beitrag zu tun hat! Der Betreiber $\hat{x}=\int_{\mathbb{R}}x|x \rangle\langle x|\ dx$ sendet die Wellenfunktion $\psi(x)$ zur Funktion $x\psi(x)$ . Die Eigenzustände dieses Operators sind $|x\rangle$ mit Eigenwerten $x$ . Alternativ und äquivalent sind die Eigenfunktionen $\psi(x)=\delta(x-\lambda)$ mit Eigenwert $\lambda$ . Die Wellenfunktion kann als Linearkombination dieser Eigenfunktionen ausgedrückt werden: $|\psi\rangle=\int_{\mathbb{R}}\psi(x)|x \rangle\ dx$ . Obwohl mathematische Strenge zugegebenermaßen aus dem Fenster ist.

Katalognummer · Answer 2

In der QM behandeln wir Funktionen als Vektoren - (im Sinne abstrakter Vektorräume sind Funktionen Vektoren, die zu einem Hilbert-Raum gehören). In der "normalen" linearen Algebra jeder Vektor $\mathbf{v}$ kann nach einer beliebigen orthonormalen Basis erweitert werden $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ durch Schreiben $\mathbf{v} = c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3$

In der standardmäßigen linearen Algebra finden wir die Koeffizienten, indem wir das Skalarprodukt beider Seiten bilden: $\mathbf{e}_1 \bullet \mathbf{v} = \mathbf{e}_1 \bullet (c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3) = c_1$ . Punktieren mit $\mathbf{e}_1$ 'zieht' den Koeffizienten dank Orthonormalität der Basisvektoren heraus.

Bei Funktionen definieren wir (normalerweise) das Skalarprodukt (ein verallgemeinerter „Punkt“) durch eine Art Integral. Zum Beispiel könnten wir definieren $\langle f, g \rangle = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x) g^*(x) dx$

Beispielsweise verwenden wir in der Theorie der Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen die komplexen Exponentiale als „Basisvektoren“, um eine beliebige Funktion zu erweitern $\psi(x)$ als

ψ (X) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} C_{k} e^{2 π ich k X}

$\psi(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{2\pi ikx}$ Um die tatsächlich zu bestimmen

c_{k}

$c_k$ 's nehmen wir das innere Produkt mit

e^{2 π i k x}

$e^{2\pi i k x}$

⟨ ψ, e^{2 π ich k X} ⟩ = \frac{1}{2 L} \int_{- L}^{L} ψ (X) e^{- 2 π ich k X} D X = \sum_{k = - \infty}^{\infty} ⟨ C_{k} e^{2 π ich k X}, e^{2 π ich k X} ⟩ = C_{k}

$\langle \psi, e^{2\pi ikx}\rangle = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L \psi(x)e^{-2πikx}dx = \sum_{k=-\infty}^\infty \langle c_k e^{2\pi ikx}, e^{2\pi ikx}\rangle = c_k$

QM wendet die gleiche Idee auf Positionswellenfunktionen an – wir drücken sie als gewichtete Summe orthogonaler Funktionen aus, wobei die $c_k$ Koeffizienten spiegeln jetzt das Überlappungsintegral der Wellenfunktion mit den Positionseigenfunktionen wider oder informell "den Betrag, um den die Wellenfunktion wie diese Eigenfunktion aussieht" - die Positionseigenfunktionen sind physikalisch nicht signifikanter als ihre linearen Kombinationen, sie sind nur zufällig mathematisch bequem.

Apoorv · Answer 3

Es ist die Verallgemeinerung des diskreten Spektrumfalls:

\sum_{ich} | a_{ich} ⟩ ⟨ a_{ich} | = 1 ⟷ \int_{- \infty}^{\infty} | X ⟩ ⟨ X | D X = 1

$\sum_i |\alpha_i\rangle \langle\alpha_i| = 1 \longleftrightarrow \int_{-\infty}^\infty |x\rangle\langle x| dx = 1$

Was diese beiden Beziehungen Ihnen sagen, ist, dass die $|x\rangle$ s oder die $|\alpha_i\rangle$ s selbst eine vollständige Basis bilden und dass jede (Wellen-)Funktion in jeder dieser Basis ausgedrückt werden kann. Wenn die Basis nicht vollständig ist, dann sind sie etwas nutzlos, um eine Wellenfunktion auszudrücken, weil Sie nicht alle Möglichkeiten berücksichtigen können. Lineare Algebra ermöglicht es Ihnen, Vektoren nicht nur als Pfeile zu beschreiben. Alles, was den Gesetzen von Vektorräumen folgt , ist ein Vektor. Und Funktionen folgen zufällig all diesen Gesetzen, und wir bekommen viel (nicht alle) der Leistungsfähigkeit der linearen Algebra umsonst.

Der diskrete Fall ist Ihnen bereits im Spin begegnet $\frac{1}{2}$ Zustände eines Elektrons. Wenn eine Wellenfunktion auf Basis des Spins entwickelt wird $\frac{1}{2}$ sagt, dann soll es im Spinorraum ausgedrückt werden (Raum ist ein schickes Wort für alle möglichen Werte für einen Vektor).

Nun, da Sie niemals einen genauen Wert für die Position haben können, fragen Sie, was bedeutet diese Basis überhaupt? Das beste klassische Analogon, das ich Ihnen jetzt anbieten kann, ist die Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung für ein ideales Gas.

F (v) = \sqrt{(\frac{M}{2 π k T})^{3}} 4 π v^{2} e^{\frac{- M v^{2}}{2 k T}}

$f(v) = \sqrt{\Big(\frac{m}{2 \pi kT}\Big)^3} 4\pi v^2 e^{\frac{-mv^2}{2kT}}$

Wenn ich Sie hier frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Sie ein Gasmolekül finden, das sich mit genau 2,5 m/s bewegt, werden Sie 0 sagen. Das liegt daran, dass Sie unendlich viele Werte zulassen und nur einen genauen Wert davon auswählen.

Wenn wir dann unsere Wellenfunktion in der Positionsbasis ausdrücken, erhalten wir auf ganz ähnliche Weise eine Art Verteilung. Diese Verteilung wird die Positionswahrscheinlichkeitsverteilung unseres Teilchens sein. Formal nennen wir sie im Ortsraum ausgedrückte Wellenfunktion. Und selbst wenn Sie keine genauen Werte für die Position selbst erhalten können, können Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, das Teilchen in einem Bereich zu lokalisieren.

Kommen wir noch einmal kurz zum diskreten Fall. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, einen bestimmten Eigenwert zu erhalten, summieren Sie alle Projektionen, die Ihnen die gewünschten Eigenwerte liefern können. Formal haben Sie einen Zustand $|\psi\rangle = \sum_i c_i |a_i\rangle$ und sagen wir Staaten $j \in J$ alle die gewünschten Eigenwerte haben, an denen Sie interessiert sind, dann die Gesamtwahrscheinlichkeit, einen gewünschten Eigenwert in der Menge zu erhalten $J$ wird gefunden, indem die Projektionen für alle jene Eigenzustände angewendet werden, die diese Eigenwerte ergeben, und die Koeffizienten aufsummiert werden. Formal "kollabiert" der Zustand nach der Messung (Projektion) zu:

\sum_{J} | A_{J} ⟩ ⟨ A_{J} | ψ ⟩ = \sum_{J} | A_{J} ⟩ ⟨ A_{J} | \sum_{ich} C_{ich} | A_{ich} ⟩ = \sum_{J} | A_{J} ⟩ \sum_{ich} C_{ich} δ_{ich J} = \sum_{J} C_{J} | A_{J} ⟩

$\sum_j |a_j\rangle \langle a_j| \psi \rangle = \sum_j |a_j\rangle \langle a_j| \sum_i c_i |a_i\rangle = \sum_j |a_j\rangle \sum_i c_i \delta_{ij} = \sum_j c_j |a_j\rangle$

Und die Wahrscheinlichkeit, in diesem Zustand zu sein (wie vor der Messung berechnet), ist daher $\sum_j |c_j|^2$ .

Ebenso im Ortsraum die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dazwischen zu finden $x- \frac{dx}{2}$ Und $x+ \frac{dx}{2}$ Ist $|x\rangle \langle x | \psi \rangle dx$ . Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass sich dieses Teilchen in einem bestimmten Bereich befindet $x_0 + \Delta$ Und $x_0 - \Delta$ dann sollten Sie diese Projektionsformel über diesen Bereich summieren (Summe ist ganzzahlig, wenn wir uns mit infinitesimalen Eimern befassen. Formal wird dies zu:

\int_{X_{0} - Δ}^{X_{0} + Δ} | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ D X

$\int_{x_0-\Delta}^{x_0+\Delta} |x \rangle \langle x| \psi \rangle dx$

Bearbeiten: Wenn Sie die Zeit haben, werden Sie die ersten drei Kapitel von Hoffman und Kunze vielleicht sehr lohnend finden .

Was bedeutet es, dass ein Zustand eine Überlagerung von Ortseigenzuständen ist?

John Morrison

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Benutzer12029

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Apoorv

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Quantenmechanik; Sakurai; Unendlich kleine Übersetzung

Eigenvektoren von pxpxp_x in einem bestimmten Bereich