Was ist die Idee hinter der kanonischen Quantisierung?

Nehmen wir die kanonischen Kommutierungsbeziehungen (CCR) in ihrer potenzierten Form (Weylsche Beziehungen):

$$V(\eta)T(q)=e^{-i\eta\cdot q}T(q)V(\eta)\; ,$$

Wo$\{V(\eta)\}_{\eta\in \mathbb{R}^d}$Und$\{T(q)\}_{q\in \mathbb{R}^d}$sind Objekte einer gegebenen normierten Algebra mit Involution. Dies ist ein sehr allgemeiner Begriff, der heutzutage als Definition des CCR verwendet wird. Nehmen wir die Exponentiale der Orts- und Impulsoperatoren$V(\eta)=e^{i\eta\cdot x}$Und$T(q)=e^{i q\cdot (-i\nabla_x)}$In$L^2(\mathbb{R}^d)$wir sehen, dass sie die Weylschen Beziehungen erfüllen, und sie sind Objekte der$C^*$Algebra beschränkter Operatoren auf diesem Raum.

Beginnen wir nun mit$W=\{V(\eta), T(q)\}_{\eta, q\in \mathbb{R}^d}$, und konstruieren die$C^*$Algebra$V$das beinhaltet$W$, dh$V=\overline{W}$(die Schließung von$W$in der angegebenen Norm$\lVert \cdot\rVert$unserer Objekte). Dies wird CCR genannt$C^*$Algebra. Wie Sie sehen können, ist der Ausgangspunkt also sehr abstrakt und wird von diesem CCR gegeben$C^*$Algebra.

Jetzt ist es möglich, das jeweils zu zeigen$C^*$Algebra hat mindestens eine getreue Darstellung als Unteralgebra der beschränkten Operatoren auf einem Hilbert-Raum (die sogenannte GNS-Konstruktion).

Ein weiteres bemerkenswertes Ergebnis ist das Stone-von-Neumann-Theorem, das besagt, dass alle irreduziblen (d. h. solche, bei denen die einzige Unterrauminvariante unter der Wirkung der Operatoren der Nullvektor ist) Darstellungen der CCR-Algebra unitär äquivalent sind (d. h. durch eine Einheit verbunden sind). Transformation) und wiederum äquivalent zu der durch die üblichen Orts- und Impulsoperatoren gegebenen Darstellung$L^2(\mathbb{R}^d)$habe ich oben gegeben.

Wenn man die Ergebnisse zusammenfasst, ist es dann offensichtlich, dass es ausreicht, die CCR-Algebra anzugeben, denn sie wird immer irreduzibel (bis auf unitäre Isomorphismen) durch die kanonischen Orts- und Impulsoperatoren dargestellt$L^2$. Auch das Konzept der Quantenzustände steht in direktem Zusammenhang mit der$C^*$Algebra der Observablen (es ist eine Teilmenge ihres topologischen Duals); und die Normalzustände (eine Teilmenge des Präduals der von Neumann-Algebra$V''$, und der Quantenzustände) stehen in einer Eins-zu-Eins-Übereinstimmung mit den Dichtematrizen in der entsprechenden Darstellung.

In Bezug auf Evolution und klassische Grenze (in Bezug auf klassische Dynamik) sind diese Konzepte leichter zu verstehen, wenn man die Sichtweise der semiklassischen Analyse verwendet, dh die (Weyl-, Wick-, Anti-Wick-) Quantisierung klassischer Symbole in Pseudodifferentialoperatoren und deren halbklassische Erweiterungen. Dennoch kann die Quantenevolution als ein Automorphismus der Quantenentwicklung angesehen werden$C^*$Algebra der Observablen (oder der Quantenzustände), die einige Regelmäßigkeitsannahmen erfüllt.

Bemerkung : Der Stone-von-Neumann-Satz gilt nur für "endlich dimensionale" Weyl-Beziehungen, dh wenn$\eta,q \in \mathbb{R}^d$(das Ergebnis kann durch die Mackey-Theorie auf jede lokal kompakte Gruppe erweitert werden). Betrachten wir zB die analoge "unendlich dimensionale" CCR-Algebra, die von erzeugt wird

$$W(\psi)W(\phi)=e^{-i\mathrm{Im}\langle\psi,\phi\rangle}W(\psi+\phi)\; ,$$ Wo $\psi,\phi\in \mathscr{H}$, $\mathscr{H}$Im unendlichdimensionalen Hilbert-Raum haben wir unendlich viele unitär inäquivalente irreduzible Darstellungen. In dieser Situation (dies ist der Fall der bosonischen Quantenfeld-CCR) haben wir andere Darstellungen, die der von Schrödinger (oder Fock) nicht äquivalent sind; und daher wird es wirklich entscheidend, die Quantentheorie als die Theorie zu sehen, die von der Algebra der (nichtkommutativen) Observablen generiert wird.