Wie genau verbinden wir in der Quantenmechanik hermitische Operatoren mit klassischen Observablen? [Duplikat]

Es gibt kein Verfahren, um einen hermiteschen Operator eindeutig zuzuordnen$L$zu einer Funktion des Phasenraums$f(x,p)$. Die Quantenmechanik ist eine Theorie, die unabhängig von der klassischen Physik existiert. Die Quantenmechanik ist nicht nur eine Kirsche auf einem klassischen Kuchen, der die klassische Theorie in jedem Moment benötigt. Wenn wir eine Quantentheorie definieren wollen, müssen wir eine Quantentheorie definieren. Die Definition beinhaltet nicht zuerst das Finden einer klassischen Theorie und dann das Finden einer damit verbundenen einzigartigen Quantentheorie.

Ernsthafter, es gibt keinen natürlichen Isomorphismus zwischen der Algebra von Operatoren auf dem Hilbert-Raum; und die Algebra der Funktionen$f(x,p)$. Der einfachste Grund ist, dass letztere eine kommutative Algebra ist, erstere dagegen nicht. Aus diesem einfachen Grund muss eine naive Identifizierung der Elemente auf beiden Seiten einfach falsch sein.

Die richtige Beziehung zwischen Quantenmechanik und klassischer Physik, wo immer beide relevant sein mögen, ist genau umgekehrt: Die klassische Physik leitet sich von der Quantenmechanik ab. Es wird als Grenzwert abgeleitet, der$\hbar\to 0$Grenze. Aber auch diese Beziehung ist nicht ganz universell. Es gibt Quantentheorien ohne klassische Grenze.

Wir können fragen, was die hermiteschen Operatoren sind$L$so dass ihre$\hbar\to 0$limit erzeugt eine gegebene Funktion$f(x,p)$auf dem Phasenraum. Aber die Antwort ist nicht eindeutig. Die möglichen Lösungen können sich durch Terme unterscheiden, die für Null gehen$\hbar\to 0$.

Zum Beispiel das klassische Observable$x^2 p^2$könnte den Quantenoperator "erzeugen".$\hat x^2 \hat p^2$. Der letztere Operator ist jedoch nicht hermitesch. Sein Hermitian Konjugat ist$\hat p^2 \hat x^2$was nicht dem Original entspricht. Wenn wir einen hermiteschen Operator wollen, können wir z

$$\frac{ \hat x^2\hat p^2+ \hat p^2\hat x^2}{2}$$ aber auch zB über $$\hat x \hat p^2 \hat x$$ Beide sind hermitesch und naiv auf das Klassische reduziert $x^2 p^2$. Diese beiden hermiteschen Operatoren unterscheiden sich jedoch voneinander. Sie unterscheiden sich durch ein numerisches Vielfaches von $\hbar^2$, in diesem Fall.

Andererseits sind Ausdrücke wie Ihre komplizierten Funktionen – aber mit Hüten – wohldefiniert und berechenbar (möglicherweise bis auf die Singularität at$x=0$und$p=-1$im Fall Ihrer besonderen Funktion). Beispielsweise kann die Exponentialfunktion eines Operators über eine Taylor-Reihe berechnet werden

$$\exp(\hat L) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\hat L^n}{n!}$$ Auch kompliziertere Funktionen von Operatoren sind berechenbar. Die Funktion $g(\hat L)$eines Betreibers $\hat L$kann zB durch Diagonalisieren berechnet werden $\hat L$dh schreiben $$\hat L = U \hat D U^\dagger$$ wo $D$diagonal ist. Dann $$g(\hat L) = U g(\hat D) U^\dagger$$ Jedoch, $g(\hat D)$ist einfach zu berechnen: Wir wenden einfach die Funktion an $g$zu jedem diagonalen Element von $\hat D$.

Aus diesem Grund definiert sogar Ihre Funktion einen Operator, abgesehen von den Singularitätsproblemen in der Nähe$x=0$und$p=-1$. Nun, wir müssen auch verfeinern, was Sie damit meinen$p/x$– es gibt keine einfache Aufteilung der Operatoren. Wenn Sie es als definieren$px^{-1}$, es ist etwas anderes als$x^{-1}p$etc. weil die Betreiber nicht pendeln.

Es ist jedoch klar, dass abgesehen von all diesen kleinen Problemen Ihr Operator nicht hermitesch sein wird, weil$\hat x+\hat x\hat p$ist nicht hermitesch und$\hat x^2 \hat p$ist nicht hermitesch und sein Sinus ist auch nicht hermitesch. Sie müssten irgendwann die hermitischen Teile nehmen, um die Hermitizität zu korrigieren, aber es gäbe keine eindeutige Möglichkeit, dies zu tun, wie oben erläutert.

Es gibt keinen natürlichen Weg, einen Operator für eine Funktion zu finden$f(x,p)$die durch ihre Werte gegeben ist, also ohne explizite Formel. Dies wird besonders deutlich, wenn wir uns das jeweils vorstellen$f(x,p)$ist eine kontinuierliche Überlagerung von Funktionen wie z$\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$unterstützt durch einen Punkt im Phasenraum.

Dies$\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$hat kein gutes Quanten-Gegenstück, weil es sowohl im Ort als auch im Impuls lokalisiert werden will. Aber das Unbestimmtheitsprinzip verbietet eine solche Lokalisierung. Man könnte mit diesem Produkt der Delta-Funktionen eine Gauß-Funktion mit minimaler Unsicherheit assoziieren, aber es ist nicht wirklich eine "kanonische Wahl".

Wenn wir die meisten algebraischen Eigenschaften opfern, gibt es eine Eins-zu-eins-Abbildung zwischen Funktionen und den Matrizen, die Mathematik, die in der Wigner-Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung verwendet wird . Aber diese Karte hat einige andere Eigenschaften, die man vielleicht unerwünscht findet. Das Produkt wird dem „Star-Produkt“ zugeordnet. Außerdem wird ein positiver bestimmter Operator allgemein einer Funktion zugeordnet, die für einige Werte von negativ wird$(x,p)$, usw.