Warum verwenden wir Operatoren in der Quantenmechanik?

Die kurze Antwort ist, dass Sie klassische Observablen als Operatoren behandeln können, wenn Sie wollen, aber die Algebra der Observablen, die die Welt tatsächlich beschrieben hat, erweist sich als nicht kommutativ. Oder anders gesagt auf die Frage:

• Wenn der Zustand eines physikalischen Systems in Bezug auf bestimmte Ergebnisse einiger Observable(n) vollständig bestimmt ist, gibt es dann noch Messungen, die durchgeführt werden können, die nicht endgültig bestimmt sind?

Die Quantenmechanik antwortet mit „Ja“, und genau das finden wir in der Welt, z.$0$Teilchen bestimmt ein bestimmter Ort den Zustand vollständig (Ortseigenzustand), führt aber nicht zu einem eindeutigen Ergebnis für eine Impulsmessung. Usw.

In der klassischen Mechanik in der Hamiltonschen Formulierung sind Observablen keine Zahlen, sondern Funktionen (oder Verteilungen) über den Phasenraum. In Bezug auf die kanonischen Koordinaten von Ort und Impuls$(q;p)$, einige der üblichen Verdächtigen haben besonders einfache Formen, zB kinetische Energie eines Teilchens$T(q;p) = p^2/2m$. Die zeitliche Entwicklung einer klassischen Observablen ist durch die Hamilton-Gleichung gegeben

Das Produkt oder die Summe zweier beliebiger Observablen ist eine Observable, und mathematisch gesehen ist die Poisson-Klammer sowohl eine Lie-Klammer als auch eine Ableitung. Die Details davon können Sie selbst nachschlagen, aber der unmittelbar relevante Effekt ist, dass die klassischen Observablen eine kommutative Poisson-Algebra bilden, eine Unterart einer Lie-Algebra.

Sobald man sich daran gewöhnt hat, Observablen als Algebra zu betrachten, tauchen natürlich einige Fragen auf:

• Bekommt unsere Algebra eigentlich alle physikalischen Observablen, entspricht alles was wir messen können etwas in der Algebra der klassischen Observablen? Wenn nicht, müssen die Regeln dieser Algebra für physikalische Observablen etwas gelockert werden, z. B. indem sie nicht-kommutativ gemacht wird?

Es stellt sich heraus, dass die Antwort lautet, dass die Algebra, die zur Beschreibung der Welt erforderlich ist, tatsächlich nicht kommutativ ist, obwohl sie durch diese Analogie natürlich nicht historisch entdeckt wurde.

Warum gerade lineare Operatoren funktionieren, liegt daran, dass es funktioniert – obwohl der Grund, warum wir hätten erwarten können, dass es funktioniert, darin besteht, dass eine ziemlich allgemeine Klasse von Algebren als lineare Operatoren auf einem komplexen Hilbert-Raum dargestellt werden kann. Das ist die Essenz des Satzes von Gel'fand-Naĭmark bzgl$C^\star$-Algebren.

Als interessante Kuriosität kann die klassische Mechanik unter Verwendung von Wellenfunktionen/Kets auf einem komplexen Hilbert-Raum formuliert werden, wobei physikalische Observablen durch Operatoren repräsentiert werden und Messungen wie in der Quantenmechanik probabilistisch sind. Es ist nicht einmal so seltsam, sich in eine komplexe Neuformulierung der klassischen Liouville-Gleichung (die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Phasenraum behandelt) zu verwandeln.

Der übliche Formalismus der QM ist ziemlich allgemein und kann die klassische Mechanik vollständig handhaben; Wo sie sich nicht einig sind, ist, welche Operatoren Dinge darstellen, die wir tatsächlich in der Welt messen.

In der klassischen Mechanik sind physikalische Größen wie zB die Koordinaten von Ort, Geschwindigkeit, Impuls, Energie usw. reelle Zahlen, in der Quantenmechanik werden sie jedoch zu Operatoren. Warum ist das so?

Abweichungen von klassischen Theorien mit experimentellen Ergebnissen machten die Formulierung einer neuen Theorie erforderlich. Die Schwarzkörperstrahlung erforderte ein Modell von harmonischen Oszillatoren, die in Einheiten von h*nu emittieren konnten, um endliche Ergebnisse zu liefern und nicht in den ultravioletten Katastrophenmodus zu wechseln. Die Spektren der neu entdeckten Atome zeigten diskrete Energieniveaus, die das Bohr-Modell erfordern . Die Daten konnten nicht in das klassische Schema passen. Die Energieniveaus deuteten darauf hin, dass sie Gleichungen gehorchten, die stehende Wellen ergeben würden, ähnlich wie die klassische Saite mit ihren stehenden Wellen. Informieren Sie sich über den historischen Hintergrund , der zu Gleichungen führte, die die beobachtete Quantennatur beschreiben.

Die Theorie wurde langsam aufgebaut, es wurde festgestellt, dass komplexe Zahlen für die Lösungen der Gleichungen notwendig waren, und die Annahme, dass die Wellenfunktion im Quadrat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, wurde gefunden, um die Daten zu erklären. Dann führte die Analogie der Formen der Differentialgleichungen zum Hamiltonoperator zur Identifizierung von Operatoren anstelle von einfachen Variablen für die erwarteten Durchschnittswerte der Variablen. Es war ein Trial-and-Error-Prozess und dann ging es los.

Das liegt daran, dass die mathematische Sprache in der Quantenmechanik die lineare Algebra ist. In der Quantenmechanik verwendete Operatoren können die Eigenwerte und Eigenzustände bestimmen und auch Transformationen an den Quantenzuständen usw. vornehmen.