Quanten- und klassische Liouville-Operatoren

Im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik für ein Observable$\hat{A}$, haben wir die berühmte Heisenberg-Gleichung, die die zeitliche Entwicklung des Operators angibt: ($\hat{H}$ist der Hamilton-Operator)

$$i\hbar \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = -[\hat{H},\hat{A}]$$ Welches kann umgeschrieben werden, indem der Lioville-Operator wie folgt definiert wird: $$\hat{L}=\frac{1}{\hbar}[H,.]$$ Daher $$\begin{align} \hat{A}(t) = e^{i\hat{L}t}\hat{A}(0) = e^{i\hat{H}t/\hbar}\hat{A}(0)e^{-i\hat{H}t/\hbar} \tag{1} \end{align}$$

Ähnlich in der klassischen statistischen Mechanik für einige klassische differenzierbare Variablen$A$Wir haben die Poisson-Gleichung: ($H$hier der klassische Hamiltonoperator)

$$\frac{\partial A}{\partial t} = \{A,H\}$$ Definieren Sie nun die klassische Version des Liouville-Operators: $$\begin{align} \mathcal{L}:=i\{H,.\}=\sum_{i=1}^n [\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}] \tag{*} \end{align}$$ Damit wird wiederum die zeitliche Entwicklung von definiert $A$mit dem dazugehörigen Propagator: $$\begin{align} A(t) = e^{i\mathcal{L}t}A(0) \tag{2} \end{align}$$

Frage:

• In$(1)$wir konnten den Einheitsoperator weiter ausbauen$e^{i\hat{L}t}$in die beiden einheitlichen Zeitübersetzungen, die von erzeugt werden$\hat{H}$(Sandwiching des Werts des Operators zum Zeitpunkt$t=0$), sondern beim Anschauen$(2)$, gibt es eine Möglichkeit, den Propagator weiter zu erweitern$e^{i\mathcal{L}t}$, verwenden$(*)$, in einen Ausdruckstyp, wie er in der QM-Version erhalten wurde, nämlich Gleichung$(1)$?