Was bedeutet pendelnde Hamiltonianer?

Question

Was bedeutet pendelnde Hamiltonianer?

Matta

Ich habe zwei solche quantenmechanischen Hamiltonoperatoren
$[{\hat{H}}_{1}, {\hat{H}}_{2}] = 0,$ $\begin{equation} [\hat{H}_1,\hat{H}_2] = 0, \end{equation}$ Wo $\hat{H}_1$ Und $\hat{H}_2$ wirken auf die gleiche Menge von Zuständen. Was lässt sich physikalisch über diese beiden Hamiltonianer schließen? Gibt es weitere mathematische Feinheiten, die in „ Was ist die physikalische Bedeutung der Kommutierung zweier Operatoren? “ für den Fall zweier Hamiltonoperatoren nicht herausgearbeitet wurden ?

Wenn ich mich umschaue, habe ich diese Eigenschaften:

Wenn ich sie als Observables behandle, kann ich sie gleichzeitig messen.
Sie haben denselben Satz von Eigenzuständen gemeinsam, und daher kann jeder Zustand als Summe dieser erweitert werden.
Sie können beide gleichzeitig diagonalisiert werden.

Gibt es weitere Eigenschaften oder Feinheiten dieser Beziehung?

BEARBEITEN: Bearbeitet nach Kommentaren, die darauf hinweisen, dass es wenig zu sagen gibt, wenn sie einzeln auf verschiedene Subsysteme einwirken, abgesehen von der Tatsache, dass sie Eigenzustände teilen, wenn sie auf beide Systeme zusammen einwirken.

Neugierig

Hmmm ... können Sie erklären, warum sie denselben Satz von Eigenzuständen teilen sollten? Wenn

H_{1}

$H_1$ wirkt auf einen Unterraum und

H_{2}

$H_2$ auf einen unabhängigen einwirkt, pendeln sie, aber strukturell können sie völlig unterschiedlich sein und einen völlig anderen Satz von Eigenzuständen haben. Das meinst du nicht, oder?

Noiralef

@CuriousOne Wenn die Eigenwerte von

H_{1}

$H_1$ Sind

| n >

$|n>$ und die von

H_{2}

$H_2$ Sind

| m >

$|m>$ , dann teilen sie sich im Gesamtsystem die Menge der Eigenzustände

| n, m >

$|n,m>$ .

Hrodelbert

Wenn

H_{1}

$H_1$ Und

H_{2}

$H_2$ wirken auf unabhängige Unterräume

V_{1}

$V_1$ Und

V_{2}

$V_2$ bzw. können wir jede Basis von wählen

V_{1}

$V_1$ für eine Basis von Eigenzuständen von

H_{2}

$H_2$ , also insbesondere einer Basis von Eigenzuständen zugeordnet

H_{1}

$H_1$ . Das heißt, es gibt einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen.

ACuriousMind

Zwei „Hamiltonianer“ wirken generisch auf unterschiedliche Zustandsräume, dh jedem ist ein Hilbert-Raum zugeordnet. Es ist nicht offensichtlich, was Sie meinen, wenn Sie vom Kommutator von Operatoren auf verschiedenen Räumen sprechen.

Neugierig

@Noiralef: So dachte ich, war gemeint ... es ist einfach keine sehr starke Eigenschaft.

Neugierig

@Hrodelbert:

H_{1}

$H_1$ Und

H_{2}

$H_2$ müssen nicht einmal die gleiche Dimensionalität haben, daher gibt es absolut keinen Grund anzunehmen, dass man einen Satz von Eigenzuständen in den Basen eines anderen ausdrücken kann.

Matta

Ihr seid alle unglaublich hilfreich, danke. Was, wenn sie auf demselben Zustandsraum agieren? Gibt es dann etwas zu sagen?

Matta

Wenn es sich als interessanter herausstellt, kann ich die Frage konkretisieren, damit sie beantwortet werden kann.

Matta

Frage aktualisiert - hoffentlich richtig.

Hrodelbert

@CuriousOne Ich bin mir nicht sicher, warum wir uns nicht einig sind: Die beiden Hamiltonianer sollten auf demselben Hilbert-Raum definiert werden

H

$\mathcal{H}$ (sonst ist eine solche Kommutatoridentität von vornherein bedeutungslos). Daher kann „auf verschiedene Unterräume wirken“ nur bedeuten, dass wir schreiben können

H = V_{1} \oplus V_{2}

$\mathcal{H} = V_1 \oplus V_2$ und schreibe

H_{1} = \tilde{H_{1}} \oplus 1

$H_1= \tilde{H_1} \oplus 1$ Und

H_{2} = 1 \oplus \tilde{H_{2}}

$H_2= 1\oplus \tilde{H_2}$ , im Einklang mit meinem vorherigen Kommentar

Neugierig

@Hrodelbert: Die nicht-trivialen Teile beider Hamiltonianer müssen nicht die gleiche Dimensionalität haben, also sagt Ihnen das Lösen des einen nichts über den anderen.

Hrodelbert

@CuriousOne Sie haben absolut Recht, aber das war nie die Behauptung: Wir wollen nur eine Basis von Eigenzuständen, was für diese Hamiltonianer möglich ist.

Neugierig

Eine triviale Trennung von Variablen bringt jedoch nicht viel. Ich (und wahrscheinlich auch das OP) hatte auf etwas "saftigeres" gehofft.

Hrodelbert

@CuriousOne Verständlich. Ich habe nur versucht zu vermitteln, dass pendelnde Hamiltonianer wirklich eine Basis von Eigenzuständen teilen, da Sie dies in Ihrem ersten Kommentar in Frage gestellt haben.

Neugierig

@Hrodelbert: zugegeben... Ich hoffe noch auf ein bisschen mehr. Irgendwelche Ideen?

Alexander

Bei der Analyse der Evolution eines dynamischen Systems - wenn der Hamiltonoperator des Systems zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst pendelt - gibt es eine "einfache" Lösung der Schrödinger-Gleichung (

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} U = H U

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U=HU$ ),

| ψ (t) ⟩ = U (t) | ψ (t_{0}) ⟩

$|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(t_0)\rangle$ -

U (t) = e^{\frac{- i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} H (t) d t}

$U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tH(t)\text{d}t}$ . Wenn es nicht ums Pendeln geht -

U

$U$ wird durch eine Art "Taylor-Erweiterung" namens "Dyson-Serie" gegeben, die nicht sehr hübsch ist en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

Antworten (2)

Was bedeutet pendelnde Hamiltonianer?

Hmmm ... können Sie erklären, warum sie denselben Satz von Eigenzuständen teilen sollten? Wenn $H_1$ wirkt auf einen Unterraum und $H_2$ auf einen unabhängigen einwirkt, pendeln sie, aber strukturell können sie völlig unterschiedlich sein und einen völlig anderen Satz von Eigenzuständen haben. Das meinst du nicht, oder?
@CuriousOne Wenn die Eigenwerte von $H_1$ Sind $|n>$ und die von $H_2$ Sind $|m>$ , dann teilen sie sich im Gesamtsystem die Menge der Eigenzustände $|n,m>$ .
Wenn $H_1$ Und $H_2$ wirken auf unabhängige Unterräume $V_1$ Und $V_2$ bzw. können wir jede Basis von wählen $V_1$ für eine Basis von Eigenzuständen von $H_2$ , also insbesondere einer Basis von Eigenzuständen zugeordnet $H_1$ . Das heißt, es gibt einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen.
Zwei „Hamiltonianer“ wirken generisch auf unterschiedliche Zustandsräume, dh jedem ist ein Hilbert-Raum zugeordnet. Es ist nicht offensichtlich, was Sie meinen, wenn Sie vom Kommutator von Operatoren auf verschiedenen Räumen sprechen.
@Noiralef: So dachte ich, war gemeint ... es ist einfach keine sehr starke Eigenschaft.
@Hrodelbert: $H_1$ Und $H_2$ müssen nicht einmal die gleiche Dimensionalität haben, daher gibt es absolut keinen Grund anzunehmen, dass man einen Satz von Eigenzuständen in den Basen eines anderen ausdrücken kann.
Ihr seid alle unglaublich hilfreich, danke. Was, wenn sie auf demselben Zustandsraum agieren? Gibt es dann etwas zu sagen?
Wenn es sich als interessanter herausstellt, kann ich die Frage konkretisieren, damit sie beantwortet werden kann.
@CuriousOne Ich bin mir nicht sicher, warum wir uns nicht einig sind: Die beiden Hamiltonianer sollten auf demselben Hilbert-Raum definiert werden $\mathcal{H}$ (sonst ist eine solche Kommutatoridentität von vornherein bedeutungslos). Daher kann „auf verschiedene Unterräume wirken“ nur bedeuten, dass wir schreiben können $\mathcal{H} = V_1 \oplus V_2$ und schreibe $H_1= \tilde{H_1} \oplus 1$ Und $H_2= 1\oplus \tilde{H_2}$ , im Einklang mit meinem vorherigen Kommentar
@Hrodelbert: Die nicht-trivialen Teile beider Hamiltonianer müssen nicht die gleiche Dimensionalität haben, also sagt Ihnen das Lösen des einen nichts über den anderen.
@CuriousOne Sie haben absolut Recht, aber das war nie die Behauptung: Wir wollen nur eine Basis von Eigenzuständen, was für diese Hamiltonianer möglich ist.
Eine triviale Trennung von Variablen bringt jedoch nicht viel. Ich (und wahrscheinlich auch das OP) hatte auf etwas "saftigeres" gehofft.
@CuriousOne Verständlich. Ich habe nur versucht zu vermitteln, dass pendelnde Hamiltonianer wirklich eine Basis von Eigenzuständen teilen, da Sie dies in Ihrem ersten Kommentar in Frage gestellt haben.
@Hrodelbert: zugegeben... Ich hoffe noch auf ein bisschen mehr. Irgendwelche Ideen?
Bei der Analyse der Evolution eines dynamischen Systems - wenn der Hamiltonoperator des Systems zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst pendelt - gibt es eine "einfache" Lösung der Schrödinger-Gleichung ( $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U=HU$ ), $|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi(t_0)\rangle$ - $U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^tH(t)\text{d}t}$ . Wenn es nicht ums Pendeln geht - $U$ wird durch eine Art "Taylor-Erweiterung" namens "Dyson-Serie" gegeben, die nicht sehr hübsch ist en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v2):

Es scheint, dass die Frage nicht erklärt, wie ein „Hamiltonianer“ $H$ unterscheidet sich von einem selbstadjungierten Operator $A$ (vermutlich von unten begrenzt). Dies würde die Frage von OP zu einem Duplikat des verlinkten Phys.SE-Beitrags machen.
Vielleicht ein "Hamiltonianer" $H$ soll auch eine 'Zeit'-Evolution für einen bestimmten Parameter erzeugen $t$ , die die tatsächliche Zeit sein kann oder nicht? Betrachten Sie dann ein Universum mit zwei "Zeit"-Richtungen $t_1$ Und $t_2$ , vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Die beiden pendelnden Hamiltonianer $[H_1,H_2]=0$ bedeutet, dass man das gleiche Ergebnis bekommt, wenn man das erste mal 'time'-evolve $e^{iH_1t_1/\hbar}$ wrt. $t_1$ und dann 'Zeit'-entwickeln $e^{iH_2t_2/\hbar}$ wrt. $t_2$ , wie man es bekommen würde, wenn man es umgekehrt macht. Mit anderen Worten, $t_1$ Und $t_2$ Pendelströme darstellen, und es ist sinnvoll, einen Zustand mit zwei 'Zeit'-Koordinaten anzugeben $(t_1,t_2)$ .

Hrodelbert · Answer 2

Zumindest eine teilweise Antwort auf Ihre Frage ist, dass pendelnde Hamiltonianer Ihnen helfen, das von einem von ihnen beschriebene physikalische System zu lösen: insbesondere, wenn Ihr System dies hat $N$ Freiheitsgrade und Sie haben $N$ pendelnde Hamiltonianer, es besteht gute Hoffnung, dass Sie das Problem trivialisieren und exakt lösen können. In der klassischen Mechanik ist dies als Liouville-Integrierbarkeit bekannt (wobei dort die Kommutativität mit einer Poisson-Klammer verbunden ist). In der Quantenmechanik ist der Begriff nicht ganz klar definiert, obwohl die Suche nach dem Begriff Quantenintegrierbarkeit Ihnen reichlich Lesestoff liefern wird. Aufgrund der Bewegungsgleichung im Heisenberg-Bild

\frac{D A}{D T} = [A, H],

$\frac{dA}{dt} = [A,H],$ Wo

A

$A$ ein Operator ist, sehen wir, dass if

H_{1}

$H_1$ ist die hamiltonsche Zeitentwicklung,

H_{2}

$H_2$ wird in der Zeit konserviert. Da jedoch viele bekannte Hilbert-Räume unendlich dimensional sind, ist die Verwendung des Obigen in der Praxis schwieriger.

Beachten Sie, dass für quantenmechanische Modelle wie Spinketten ( $N$ feste Teilchen, die über Spin-Freiheitsgrade interagieren), ist der Zustandsraum endlichdimensional und all dies hilft.

Mir ist nicht bekannt, dass selbst die eindimensionale Schrödinger-Gleichung allgemein für beliebige Potentiale integriert werden kann, also ist auch die völlige Unabhängigkeit aller Variablen keine Garantie dafür, dass das Problem eine einfache Lösung hat.
Nein, das stimmt. Aber auch die eindimensionale Schrödinger-Gleichung wird nicht durch einen eindimensionalen Hamilton-Operator dargestellt: Sie wirkt auf einen Raum von Funktionen, der normalerweise unendlich dimensional ist
Ja, QM ist ein Biest, selbst für den einfachsten Fall. Wir können froh sein, historisch gesehen, dass das Wasserstoffproblem eine so schöne Lösung hat, oder Schrödinger hätte eine Menge Ärger gehabt, um für seine Gleichung zu plädieren ...

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